四川省巴中市独立中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（　　） A． B． C．（） D．（） 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性． 【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项． 【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为 再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x 当x=时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心． 故选A． 【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高． 2. 已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比q是小于1的正有理数。若，且是正整数，则q的值可以是（      ）   A.           B.-          C.-           D. 参考答案： D 3. 下列说法正确的是（　　） A．任何事件的概率总是在（0，1）之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 参考答案： C 【考点】概率的意义． 【分析】利用频率与概率的意义及其关系即可得出． 【解答】解：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A不正确． 频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故B、D不正确． 频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值， 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故C正确． 故选：C． 4. 正项等比数列{an}中，，则的值为（    ） A．100                      B．10000                   C．1000                    D．10 参考答案： B 略 5. 已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A={x|a1x+b1＞0}，B={x|a2x+b2＞0}，则“”是“A=B”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】充要条件． 【分析】先根据，进行赋值说明此时A≠B，然后根据“M?N，M是N的充分不必要条件，N是M的必要不充分条件”，进行判定即可． 【解答】解：∵ ∴取a1=1，a2=﹣1，b1=﹣1，b2=1，A≠B 而A=B? ∴“”是“A=B”的必要不充分条件 故选B 6. 已知函数的图象如图所示，则的值为（    ）  A.                    B. C.                  D. 参考答案： C ，，，选C 7. 如图1，风车起源于周，是一种用纸折成的玩具。它用高粱秆，胶泥瓣儿和彩纸扎成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图2是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为（    ） A．         B．          C．          D． 参考答案： B 8. 若集合则（　　　） A.    B.    C.     D. 参考答案： B 9. 设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D．[﹣1，1] 参考答案： D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围． 【解答】解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f′（x）=a+cosx﹣sinx， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则f′（x1）=a+cosx1﹣sinx1，f′（x2）=a+cosx2﹣sinx2． 由曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，得 a2+[（cosx1﹣sinx1）+（cosx2﹣sinx2）]a+（cosx1﹣sinx1）（cosx2﹣sinx2）+1=0． 令m=cosx1﹣sinx1，n=cosx2﹣sinx2， 则m∈[﹣，]，n∈[﹣，]， ∴a2+（m+n）a+mn+1=0． △=（m+n）2﹣4mn﹣4=（m﹣n）2﹣4， ∴0≤（m﹣n）2﹣4≤4． 当m﹣n=时，m+n=0， 又a=． ∴﹣1≤a≤1． ∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B， 使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[﹣1，1]． 故选D． 10. 在中，已知，且最大边的长为，则的最小边为                                                                    （   ） A．1               B．          C．            D．3 参考答案： C 在中，，即，所以，所以，因为，则角A所对的边最小。由可知，由正弦定理，得。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线 M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，抛物线M与 椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于　　． 参考答案： ﹣1 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意可知：AF⊥x轴， =c，代入抛物线方程即可求得A点坐标，代入椭圆方程，利用离心率公式即可求得椭圆N的离心率． 【解答】解：如图所示由F，A，B共线， 则AF⊥x轴， 由抛物线 M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F， ∴=c， 把x=，代入抛物线方程可得：y2=2p?，解得：y=p． ∴A（，p），即A（c，2c）． 代入椭圆的方程可得：， 又b2=a2﹣c2， ∴，由椭圆的离心率e=， 整理得：e4﹣6e2+1=0，0＜e＜1． 解得：e2=3﹣2， ∴e=﹣1， 故答案为：﹣1． 12. 设,若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围是___________． 参考答案： 略 13. 已知向量，，其中||=，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角是　　． 参考答案： 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量，的夹角 解：设向量，的夹角为θ， ∵||=，||=2，且（+）⊥， ∴（+）?=+=+||?||cosθ=2+2cosθ=0， 解得cosθ=﹣， ∵0≤θ≤π， ∴θ=， 故答案为： 14. 若抛物线（p>0）的焦点与双曲线的左焦点重合，则的值为________    . 参考答案： 6 15. z=（1+i）（1﹣2i）的实部为            参考答案： 3 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用复数的运算法则、实部的定义即可得出． 解答： 解：复数z=（1+i）（1﹣2i）=1﹣2i+i+2=3﹣i， ∴z的实部为3． 故答案为：3． 点评： 本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题． 16. 在中，内角的对边分别是，若，，则            参考答案： 17. 在△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2sinA=5sinC，（a+c）2=16+b2，则△ABC的面积是　   　． 参考答案： 2 【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理． 【分析】由正弦定理化简已知等式可得ac=5，由余弦定理可求cosB=，利用同角三角函数基本关系式解得sinB，进而根据三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：∵c2sinA=5sinC， ∴ac2=5c，可得：ac=5， ∵（a+c）2=16+b2，可得：b2=a2+c2+2ac﹣16， ∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：2ac﹣16=﹣2accosB，整理可得：2ac（1+cosB）=16， ∴cosB=，解得sinB==， ∴S△ABC=acsinB==2． 故答案为：2． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在锐角中, （I）求角； (Ⅱ)若,求的取值范围. 参考答案： (Ⅰ)由                且       （Ⅱ）      又        ，   19. 在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足. （1）判断△ABC的形状； （2）若，，CD为角C的平分线，求CD的长. 参考答案： （1）直角三角形；（2）. 【分析】 （1）利用两角和与差的正弦公式化简已知条件，求得，由此判断也即三角形为直角三角形.（2）根据勾股定理求得和,由此求得，根据正弦定理列方程，解方程求得的长. 【详解】（1）由，得， ∴，∴，∴. 故为直角三角形． （2）由（1）知，又，，∴，，. 由正弦定理得，∴. 【点睛】本小题主要考查两角和与差的余弦公式，考查勾股定理，考查正弦定理解三角形，属于基础题. 20. (本小题满分12分)甲、乙、丙三位同学彼此独立地从五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢高校，他除选校外，在中再随机选一所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可 （I）求甲同学未选中高校且乙、丙都选中高校的概率； （II）记为甲乙丙三名同学中参加校自主招生考试的人数，求的分布列及数学期望。 参考答案： 21. （本小题满分14分） 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）如果当x>0，且时，，求k的取值范围. 参考答案： （1） 由于直线的斜率为，且过点， 故即 解得，。 （2）由（Ⅰ）知，所以 。 考虑函数，则。 (i)                                        设，由知，当时，。而， 故当时，，可得； 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+. （ii）设00，故 (x）>0，而 h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。 （iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0] …………………………14分 22. 已知定点、，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C. （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设直线l与曲线C交于P、Q两点，若直线AP与AQ斜率之积为，求证：直线l过定点，并求定点坐标. 参考答案： （Ⅰ）设动点，则， ，即， 化简得： ，由已知， 故曲线的方程为. （Ⅱ）由已知直线斜率为0时，显然不满足条件。 当直线 斜