2022-2023学年四川省成都市公兴中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（ ）
A．
[0，+∞）
B．
C．
D．
参考答案：
D
考点：
函数与方程的综合运用．3794729
专题：
压轴题；新定义．
分析：
本题求解的关键是得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．
解答：
解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立即k恒大于等于，则k≥的最大值，所以本题即求的最大值．
由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，）
AB方程y=（x﹣1）
由图象可知，MN=y1﹣y2=x﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（均值不等式）
故选D．
点评：
解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略．
2. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
3. 函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B
4. 已知命题p：，，则（ ）
A．：， B．：，
C．：， D．：，
参考答案：
B
由含有一个量词的命题的否定可知存在性命题的否定是全称命题,故应选B.
5. 设三次函数的导函数,且,则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
D
6. 函数的零点有
A. 0个 B. 1个 C.2个 D.3个
参考答案：
A
7. 已知，则复数z=（ ）
A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i
参考答案：
A
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：，∴ =（1+i）（2+i）=1+3i．
则复数z=1﹣3i．
故选：A．
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
参考答案：
B
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序是以6为周期的计算S值的循环程序，结合i的值即可得出结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；
i=0，S=1，A=2；
i=1，S=1×2=2，A=1﹣=；
i=2，S=2×=1，A=1﹣2=﹣1；
i=3，S=1×（﹣1）=﹣1，A=1+1=2；
i=4，S=﹣1×2=﹣2，A=1﹣=；
i=5，S=﹣2×=﹣1，A=1﹣2=﹣1；
i=6，S=﹣1×（﹣1）=1，A=1+2=2；…；
∴该程序是以6为周期的计算S值的循环程序；
∴当i=2016=336×6时，S=1，A=2，终止循环；
即该程序运行后输出的是S=1．
故选：B．
9. 已知函数，若对于任意，都有 成立，则的取值范围是
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ.
参考答案：
A
略
10. 设m，n是两条不同的直线,是两个不同的平面，给出下列条件,能得到的是
A．， B．m⊥， C．m⊥n, D．m∥n,
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在的展开式中，若第项的系数为，则 .
参考答案：
3
略
12. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：
奖品
收费(元／件)
工厂
一等奖奖品
二等奖奖品
甲
500
400
乙
800
600
则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.
参考答案：
试题分析：设在甲厂做一等奖奖品件，二等奖奖品件，则,组委会定做该工艺品的费用总和为，可行域为一个直角梯形内整数点（包含边界）,其中当直线过点时费用总和取最小值：
考点：线性规划求最值
13. 已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x（a∈R）在区间（﹣2，2）不单调，则a的取值范围是 ．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】由题意可得f′（x）=3x2+（2﹣2a）x﹣a（a+2）=0在区间（﹣2，2）上有解，再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围．
【解答】解：由题意可得f′（x）=3x2+（2﹣2a）x﹣a（a+2）=0在区间（﹣2，2）上有解，
故有①，或 f′（﹣2）f（2）＜0 ②．
可得，a的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的单调性与导数的关系，二次函数的性质应用，属于中档题．
14. 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则k的值为 。
参考答案：
15. 已知，且，则的值为__________
参考答案：
16. 函数的定义域为_____
参考答案：
略
17. 若函数是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足，则不等式的解集为
参考答案：
（0，+）
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，
（1）若函数，求函数的单调区间；
（2）设直线为函数的图像上点A（，）处的切线，证明：在区间（1，+）上存在唯一，直线与曲线相切.
参考答案：
解：（1），故
显然当且时都有，故函数在和均单调递增。
（2）因为，所以直线的方程为
设直线与的图像切于点，因为，
所以 ，从而，
所以直线的方程又为
故 ，从而有
由（1）知，在区间单调递增，
又因为，
故在区间上存在唯一的零点，
此时，直线与曲线相切.
略
19. 某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．
数学二等奖
学生得分
语文二等奖
学生得分
7
9
1
4
8
9
4
7
6
2
0
3
9
（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；
（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；
（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．
参考答案：
（Ⅰ）依题意：获数学二等奖的考生的比例是，…1分
所以考生总人数为：（人）． ………………………………………2分
所以该考场考生中语文成绩为一等奖的人数为：
（人）． ………………………………………3分
（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为、、、，
，……………………………………………4分
，……………………………………………5分
， …………………………………………6分
． …………………………………………7分
所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．
……………………………………………8分
（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人
……………………………………………9分
设两科成绩都是一等奖的人分别为、、，只有数学一科为一等奖的人分别是、,只有语文一科为一等奖的人是，所以随机抽取两人的基本事件为：、、、、、、、、、、、、、
共种． …………………………………10分
而两人两科成绩均为一等奖的基本事件为：、、共种． …………11分
所以两人的两科成绩均为一等奖的概率. …………………………12分
20. 已知函数在上的最小值是.
（1）．求数列的通项公式；
（2）．证明：<．
（3）．在点列…….中是否存在两点Ai ,Aj 其中i, j∈N+ ．，使直线AiAj的斜率为1，若存在，求出所有数对i, j ．，若不存在，说明理由．
参考答案：
【知识点】导数的应用 数列求和 B12 D4
（1）；（2）略；（3）不存在这样的点列.
（1）．由，得 =……………1分．
令 ，得……………………2分．
当．时，．当时， ．
∴在上有极小值
∴数列的通项公式…………………………………5分．
（2）．∵………………………6分．．
∴=
………………8分．
（3）．依题意，设．其中．是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k=
……………………9分．
=1……………………11分．
∴不存在这样的点列，使直线的斜率为1……………………12分．．
【思路点拨】（1）求出原函数的导函数，得到原函数的极小值点，求得极小值，则数列的通项公式可求；
（2）因为，所以采用裂项相消法对求和即可证明；（3）设出点列中的两点．代入两点求斜率公式可得答案．
21. （Ⅰ）叙述并证明平面向量基本定理：
（Ⅱ)在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
参考答案：
解：（Ⅰ）平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使.
证明：在平面内任取一点，作过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平行于直线的直线，与直线交于点.由向量的线性运算性质可知，存在实数，使得，.由于,所以. .6分
（Ⅱ）由已知可得在ACD中，AC=BC=30， AD=DC=10，
ADC =180-4, = .
因为 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30
=15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m 12分
22. （本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：