四川省成都市安龙镇中学2022-2023学年高一数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 参考答案： A 【考点】LN：异面直线的判定． 【分析】作出图形，列举出与面对角线AC垂直且异面的棱． 【解答】解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中， 与面对角线AC垂直且异面的棱有：BB1和DD1， ∴与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2． 故选：A． 2. f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（　　） A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+1 参考答案： B 【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】根据已知可得f（x）为奇函数，由f（0）=0，可得：b=﹣1，进而根据当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）得到x＜0时，f（x）的解析式． 【解答】解：∵f（x）为定义域R，图象关于原点对称， ∴f（x）为奇函数， f（0）=20+b=0， 解得：b=﹣1， 当x＜0时，﹣x＞0， ∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x﹣1， ∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+2x+1， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键． 3. 在各项均不为零的等差数列{an}中，若，则等于（    ） A.  4030       B. 2015          C. 2015          D.  4030 参考答案： A 4. 总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（   ） 附：第6行至第9行的随机数表 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 A. 3 B. 16 C. 38 D. 20 参考答案： D 【分析】 由简单随机抽样，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，按题目要求取出结果 【详解】按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则编号依次为33，16，20，38，49，32， 则选出的第3个个体的编号为20， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单随机抽样，属简单题 5. 在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，并且B为锐角，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： D 【考点】三角形的形状判断；对数的运算性质． 【分析】由已知的条件可得=，sinB=，从而有  cosB==，故 C=，A=，故△ABC的形状等腰直角三角形． 【解答】解：在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，并且B为锐角，∴ =，sinB=， ∴B=，c=a，∴cosB==，∴C=，A=， 故△ABC的形状等腰直角三角形， 故选D． 6. 如果一个函数满足： （1）定义域为； （2）任意，若，则； （3）任意，若，总有．则可以是（     ） A． B． C．     D． 参考答案： B 略 7. 若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式为（　　） A．3lnx B．3lnx+4 C．3ex D．3ex+4 参考答案： D 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【分析】设t=lnx，则x=et，即可得到f（t）=3et+4，进而得到函数的解析式． 【解答】解：设t=lnx，则x=et， 所以f（t）=3et+4， 所以f（x）=3ex+4． 故选D． 8. 定义在R的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=﹣x2+x，则x＞0时，f（x）等于（　　） A．x2+x B．﹣x2+x C．﹣x2﹣x D．x2﹣x 参考答案： A 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】当x＞0时，﹣x＜0，根据函数f（x）是定义在R的奇函数，可得f（x）=﹣f（﹣x），进而得到答案． 【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0， ∵定义在R的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=﹣x2+x， ∴此时f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）2+（﹣x）]=x2+x， 故选：A 9. 下列函数中与函数相同的函数是(    ) A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 可用相等函数两个重要判断依据逐项判断 【详解】A项定义域，定义域不同，A错 B 项，对应关系不同，B错 C 项定义域，定义域不同，C错 D项，定义域和对应关系都相同，D对 故选D 【点睛】本题考查相等函数的判断方法，抓住两点：定义域相同，对应关系相同（化简之后的表达式一致） 10. 设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于(   )． A．{x|3≤x＜4}  B．{x|x≥3} C．{x|x＞2} D．{x|x≥2} 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数，给出下列4个命题： ①在区间上是减函数；    ②直线是函数图像的一条对称轴； ③函数f（x）的图像可由函数的图像向左平移而得到； ④若，则f（x）的值域是． 其中正确命题序号是                      。 参考答案： ①② 12. 已知中，，则其面积等于              . 参考答案： 或 略 13. 在中,若，则角C=_________. 参考答案： 14. 边长为的正三角形，用斜二测画法得到其直观图，则该直观图的面积为_________. 参考答案： 15. 已知三个事件A，B，C两两互斥且，则P(A∪B∪C)=__________. 参考答案： 0.9 【分析】 先计算，再计算 【详解】 故答案为0.9 【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型. 16. 若函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a恰有3个零点，则a=　　． 参考答案： 4 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】先画出y=|4x﹣x2|图象，为y=4x﹣x2图象在x轴上方的不变，x轴下方的沿x轴翻折，此时y=|4x﹣x2|图象与x轴有2个交点，若把图象向上平移，则与x轴交点变为0个，向下平移，则与x轴交点先变为4个，再变为3个，最后变为2个，所以，要想有3个零点，只需与x轴有3个交点即可． 【解答】解：∵利用含绝对值函数图象的做法可知， 函数y=|4x﹣x2|的图象，为y=4x﹣x2图象 在x轴上方的不变，x轴下方的沿x轴翻折， ∴y=|4x﹣x2|图象与x轴有两个交点，为（0，0）和（4，0）原来的顶点经过翻折变为（2，4） f（x）=|4x﹣x2|﹣a图象为y=|4x﹣x2|图象发生上下平移得到，可知若把图象向上平移，则与x轴交点变为0个，向下平移，当平移的量没超过4时，x轴交点为4个，当平移4个单位长度时，与x轴交点变为3个，平移超过4个单位长度时，与x轴交点变为2个， ∴当a=4时，f（x）=|4x﹣x2|﹣a图象与x轴恰有3个交点，此时函数恰有3个零点． 故答案为4 17. 写出命题“已知，如果是减函数，则”的否命题  已知，如果是增函数，则      ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （16分）已知数列，满足，其中. （1）若，求数列的通项公式； （2）若，且.记， 求证：数列为等差数列； 参考答案： 解（1）当时，有  …………4分 .                  …………6分 又因为也满足上式，所以数列的通项为.………………7分 （2）由题设知：，对任意的有 得，     于是又，   故 …………………………………9分    ∴， ， ∴ ， 所以数列为等差数列.       …………………………1 略 19. （本小题满分12分）已知向量 （1）求向量的夹角； （2）若求 参考答案： 解： (1)∵， ∴ 设向量的夹角为，则 所以向量的夹角为。………………6分 略 20. 已知函数. （1）当a=2，求函数f(x)的极值； （2）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）见解析；(2) 【分析】 （1）代入a的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可． 【详解】（1）当a=2时，，令，解得x=1. 列表： x 1 — 0 + ↘ 极小值 ↗   所以，当x=1时，有极小值，没有极大值 （2）①因为. 所以，. 当时，， 所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意， 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即为最小值. 1°当时，在上单调递减，在上单调递增， 只有一个零点，不合题意； 2°当时，，故，最多有两个零点. 注意到，令, 取，使得，下面先证明； 设，令，解得. 列表 x — 0 + ↘ 极小值 ↗   所以，当，有极小值. 所以，故，即. 因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点， 又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意 3°当时，，故，最多有两个零点. 注意到，取， 则 ， 因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点， 又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意. 综上所述，实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值及零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 21. 已知函数f（x）=loga（ax2﹣x+1），其中a＞0且a≠1． （1）当a=时，求函数f（x）的值域； （2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合函数的单调性；函数的值域． 【专题】综合题；分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）把代入函数解析式，可得定义域为R，利用配方法求出真数的范围，结合复合函数单调性求得函数f（x）的值域； （2）对a＞1和0＜a＜1分类讨论，由ax2﹣x+1在上得单调性及ax2﹣x+1＞0对恒成立列不等式组求解a的取值范围，最后取并集得答案． 【解答】解：（1）当时，恒成立， 故定义域为R， 又∵，且函数在（0，+∞）单调递减， ∴，即函数f（x）的值域为（﹣∞，1]； （2）依题意可知， i）当a＞1时，由复合函数的单调性可知，必须ax2﹣x+1在上递增，且ax2﹣x+1＞0对恒成立． 故有，解得：a≥2；