山东省烟台市蓬莱大柳行中学高二数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 读右边的程序:
该程序如果在执行的时候,输入93,那么输出的结果为( )
A. 99 B.39 C.39.3 D.99.3
参考答案:
B
略
2. 若直线与直线分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
∵直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,
∴P,Q点的坐标分别为:P(a,1),Q(7,b),
∵线段PQ的中点坐标为(1,-1),
∴由中点坐标公式得:∴a=-5,b=-3;
∴直线l的斜率k=
故选B
3. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A. 43 B.55 C.61 D.81
参考答案:
C
4. 设f(x)=asin2x+bcos2x,且满足a,b∈R,ab≠0,且f()=f(),则下列说法正确的是( )
A.|f()|<|f()|
B.f(x)是奇函数
C.f(x)的单调递增区间是[k](k∈Z)
D.a=b
参考答案:
D
【考点】余弦函数的对称性;余弦函数的奇偶性.
【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,由于θ的值不确定,故A、B、C不能确定正确,利用正弦函数的图象的对称性,得出结论.
【解答】解:∵f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+θ),且满足a,b∈R,ab≠0,
sinθ=,cosθ=,
由于θ的值不确定,故A、B、C不能确定正确.
∵f()=f(),∴f(x)的图象关于直线x=对称,
∴令x=,可得f(0)=f(),即b=a﹣,求得a=b,
故选:D.
【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的奇偶性、单调性,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.
5. 设,且,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 已知命题“若函数在(0,+∞)上是增函数,则”,则下列结论正确的是
A. 否命题是“若函数在(0,+∞)上是减函数,则”,是真命题
B. 逆命题是“若,则函数在(0,+∞)上是增函数”,是假命题
C. 逆否命题是“若,则函数在(0,+∞)上是减函数”,是真命题
D. 逆否命题是“若,则函数在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
参考答案:
D
【分析】
本题首先可以根据原命题“若函数在(0,+∞)上是增函数,则”写出原命题的逆命题、否命题以及逆否命题,然后判断出四种命题的真假,即可得出结果。
【详解】原命题“若函数在(0,+∞)上是增函数,则”,是真命题;
逆命题为“若,则函数在(0,+∞)上是增函数”,是真命题;
否命题为“若函数在(0,+∞)上不是增函数,则”,是真命题;
逆否命题为“若,则函数在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题,
综上所述,故选D。
【点睛】本题考查命题的相关性质,主要考查原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的相关性质以及联系,考查推理能力,是简单题。
7. 若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A. (-∞,2] B. [2,+∞)
C. [-2,+∞) D. (-∞,-2]
参考答案:
B
由f(1)=得a2=,
∴a=或a=- (舍),
即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.
8. 已知角α的终边上一点的坐标为(,-),则角α的正弦值为( )
A.- B. C.- D.
参考答案:
A
略
9. 已知椭圆的中心为原点,离心率,且它的一个焦点与抛物线的焦点重合,则此椭圆方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是( )
A.9 B.10 C.18 D.20
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知某生产厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件.
参考答案:
9
略
12. 已知,且,则c的值为________.
参考答案:
13. 设(是两两不等的常数),则
的值是 ______________.
参考答案:
0
14. 已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=3,则f(-1)= .
参考答案:
略
15. 椭圆+=1(a>b>0)上任意两点P,Q,若OP⊥OQ,则乘积|OP|?|OQ|的最小值为 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】题意可设点P(|OP|cosθ,|OP|sinθ),Q(|OQ|cos(θ±,|OQ|sin(θ±),由P、Q在椭圆上,即可得出结论.
【解答】解:题意可设点P(|OP|cosθ,|OP|sinθ),Q(|OQ|cos(θ±,|OQ|sin(θ±),
由P、Q在椭圆上,得: =+,①
=+,②
①+②,得 +=+,
∴当|OP|=|OQ|=时,乘积|OP|?|OQ|最小值为.
故答案为:.
16. 已知P是直线上的动点,PA、PB是圆的切线,A、B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值是_________.
参考答案:
略
17. 函数的单调递减区间为 ▲ .
参考答案:
(0,2)
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左、右顶点分别是A1,A2,上、下顶点分别为B2,B1,点是椭圆C上一点,PO⊥A2B2,直线PO分别交A1B1,A2B2于点M,N.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若,求椭圆C的方程;
(3)在第(2)问条件下,求点 Q()与椭圆C上任意一点T的距离d的最小值.
参考答案:
略
19. 7个人按如下各种方式排队照相,有多少种排法?(必须计算出结果)
(Ⅰ)甲必须站在正中间;
(Ⅱ)甲乙必须站在两端;
(Ⅲ)甲乙不能站在两端;
(Ⅳ)甲乙两人要站在一起.
参考答案:
【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.
【分析】(Ⅰ)分2步进行分析:1、甲必须站在中间,分析可得这个人只有1种站法,2、将剩余的6个人将全排列,安排在其他6个位置,由分步计数原理计算可得答案;
(Ⅱ)(Ⅲ)先安排甲乙、再安排剩余的5个人;
(Ⅳ)分2步进行分析:1、由于甲乙必须排在一起,用捆绑法将将甲乙看成一个整体,考虑甲乙之间的顺序,2、将这个整体与其他5人进行全排列,由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)根据题意,甲必须站在中间,则甲只有1种站法,将剩余的6个人将全排列,安排在其他6个位置,有=720种情况,
则甲必须站在中间的排法有1×720=720种;
(Ⅱ)甲乙必须站在两端,先安排甲乙、再安排剩余的5个人,有种;
(Ⅲ)甲乙不能站在两端,先安排甲乙、再安排剩余的5个人,有种;
(Ⅳ)某2人必须排在一起,将这2人看成一个整体,考虑2人之间的顺序,有A22=2种情况,
将这个整体与其他5人进行全排列,有A66=720种情况,
则某2人必须排在一起的排法有2×720=1440种.
【点评】本题考查排列、组合的运用,解题的关键正确理解题意的要求,选择相应的方法.
20. 已知椭圆C1: +=1(a>b>0)经过点(1,e),其中e是椭圆C1的离心率,以原点O为圆心,以椭圆C1的长轴长为直径的圆C2与直线x﹣y+2=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C1和圆C2的方程;
(Ⅱ)过椭圆C1的右焦点F的直线l1与椭圆C1交于点A,B,过F且与直线l1垂直的直线l2与圆C2交于点C,D,以A,B,C,D为顶点的四边形的面积记为S,求S的取值范围.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)由椭圆经过点(1,e),以原点O为圆心,以椭圆C1的长轴长为直径的圆C2与直线x﹣y+2=0相切,列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C1的方程和圆C2的方程.
(Ⅱ)若直线AB的斜率不存在,由l1⊥l2,得S=2;若直线AB的斜率为0,由l1⊥l2,得|AB|=2,|CD|=2,S=;若直线AB的斜率存在且不为0,设l1的方程为y=k(x﹣1),联立,得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,由此利用韦达定理、根的差别式、弦长公式、函数的单调性,结合已知条件能求出S的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆C1: +=1(a>b>0)经过点(1,e),
以原点O为圆心,以椭圆C1的长轴长为直径的圆C2与直线x﹣y+2=0相切,
∴由已知得,解得a=,b=1.
所以椭圆C1的方程为,圆C2的方程为x2+y2=2.
(Ⅱ)若直线AB的斜率不存在,由l1⊥l2,得|AB|==,|CD|=2,
此时S=.
若直线AB的斜率为0,由l1⊥l2,得|AB|=2,|CD|=2=2,
此时S=.
若直线AB的斜率存在且不为0,设l1的方程为y=k(x﹣1).
设A(x1,x2),B(x2,y2),则,
消y,得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
所以,,
△=16k4﹣4(1+2k2)(2k2﹣2)=8k2+8>0.
|AB|==
==.
又l2的方程为y=﹣(x﹣1),即x+ky﹣1=0,
得|CD|=2=2.
所以S=|AB|×|CD|==2.
因为k2>0,关于k2是单调递减函数,
∈(2,2).
综上得,S的取值范围是[2,2].
21. 设全集,集合=,=。
(1)求;
(2)若集合,满足,求实数的取值范围;
参考答案:
(1);(2)
22. (1)当时,求证:;
(2)若,用反证法证明:函数()无零点.
参考答案:
(1)见解析(2)见解析
试题分析:(1)利用分析法证,将其变为整式证明;根据,用换元法证明 ;(2)假设结论不成立,可得在上有解,即在上有解.构造函数(),求的最小值,可得矛盾。
试题解析:证明:(1)分析法:,要证,
只需证,
即证,
,只需证,
,,故得证.
令,则 ,即 ,
则 ,从而 .
(2)反证法:假设函数()有零点,
则在上有解,即在上有解.
设(),(),当时,;
当时,. ,,但这与条件矛盾,
故假设不成立,即原命题得证.
【点睛】1.证明不等式,直接由条件不好推,可用分析法找结论成立的充分条件,根据不等式的式子的特点,注意换元法的运用;2.反证法证时,假设结论不成立,可得在上有解,构造,求其最小值,可得矛盾。