四川省成都市花桥中学高二数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,D为等腰三角形ABC底边AB的中点,则下列等式恒成立的是( )
A. ?=0 B. ?=0 C. ?=0 D. ?=0
参考答案:
B
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由于D为等腰三角形ABC底边AB的中点,可得CD⊥AB,即可得出=0.
【解答】解:∵D为等腰三角形ABC底边AB的中点,
∴CD⊥AB.
∴=0.
故选:B.
2. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所对应的函数是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
A
3. 有下列一列数:1,8,27,64, ,216,343,…,按照此规律,横线中的数应为( )
A.75 B.100 C.125 D.150
参考答案:
C
【考点】F1:归纳推理.
【分析】由题意可知,该数列为13,23,33,43,53,63,73,…即可知道横线中的数
【解答】解:数列为13,23,33,43,53,63,73,…
故选:C
【点评】本题考查了归纳推理的问题,关键找到规律,属于基础题
4. “”是“”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件
参考答案:
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:当+2kπ时,满足但不一定成立,即充分性不成立,
当时,成立,即必要性成立,
则“”是“”的必要不充分条件,
故选:C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.
5. 已知集合A={1,2},集合B满足A∪B={1,2},则这样的集合B有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
参考答案:
A
【考点】并集及其运算.
【专题】计算题.
【分析】根据题意得到集合B是集合A的子集,所以求出集合A子集的个数即为集合B的个数.
【解答】解:因为A∪B={1,2}=A,所以B?A,
而集合A的子集有:?,{1},{2},{1,2}共4个,所以集合B有4个.
故选A
【点评】本题重在理解A∪B=A表明B是A的子集,同时要求学生会求一个集合的子集.
6. 在如图所示的正方体中,M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,
则异面直线AC和MN所成的角为( )
A.30° B.45°
C.90° D.60°
参考答案:
D
略
7. “x2﹣2x<0”是“|x﹣2|<2”的( )
A.充分条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据不等式的性质求出不等式成立的等价条件.利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
【解答】解:由得x2﹣2x<0,解得0<x<2,
由|x﹣2|<2,得﹣2<x﹣2<2,即0<x<4,
则“x2﹣2x<0”是“|x﹣2|<2”的充分不必要条件,
故选:B
8. 已知圆O:;直线过点(0,3),倾斜角为,在区间(0,π)内随机取值,与圆O相交于A、B两点,则|AB|≤的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得aman=16a12,则 的最小值为( )
A. B. C. D.不存在
参考答案:
A
【考点】基本不等式;等比数列的通项公式.
【分析】应先从等比数2列入手,利用通项公式求出公比q,然后代入到aman=16a12中,可得到关于m,n的关系式,再利用基本不等式的知识解决问题.
【解答】解:设正项等比数列{an}的公比为q,易知q≠1,由a7=a6+2a5,得到a6q=a6+2,解得q=﹣1或q=2,
因为{an}是正项等比数列,所以q>0,因此,q=﹣1舍弃.
所以,q=2
因为aman=16a12,所以,所以m+n=6,(m>0,n>0),
所以≥,
当且仅当m+n=6,即m=2,n=4时等号成立.
故选A
10. △ABC的面积是,∠B是钝角,AB=1,BC=,则AC=( )
A.5 B.2 C. D.1
参考答案:
C
【考点】正弦定理.
【分析】由题意和三角形的面积公式列出方程求出sinB,由B的范围和特殊角的三角函数值求出B,由余弦定理列出式子化简后求出AC的值.
【解答】解:∵△ABC的面积是,AB=1,BC=,
∴,解得sinB=,
∵∠B是钝角,∴B=,
由余弦定理得,AC2=AB2+BC2﹣2?AB?BC?cosB
=1+2﹣2×=5,
则AC=,
故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点和圆O:,过点E的直线被圆O所截得的弦长为,则直线的方程为 .
参考答案:
或
略
12. 以点M(0,2)为圆心,并且与x轴相切的圆的方程为 .
参考答案:
x2+(y﹣2)2=4
【考点】圆的标准方程.
【分析】根据题意,分析可得该圆的圆心到x轴的距离就是圆的半径,即该圆的半径r=2,由圆的圆坐标以及半径结合圆的标准方程形式即可得答案.
【解答】解:根据题意,以点M(0,2)为圆心,并且与x轴相切的圆,
其圆心到x轴的距离就是圆的半径,即该圆的半径r=2,
则要求圆的方程为:x2+(y﹣2)2=4;
故答案为:x2+(y﹣2)2=4.
13. 已知随机变量的分布列为:,,,且,则随机变量的标准差等于__________.
参考答案:
略
14. 已知命题p:?x∈R,x2+x+1>0,则命题¬p为: .
参考答案:
?x0>0,x02+x0+1≤0
【考点】命题的否定.
【专题】简易逻辑.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
【解答】解:命题是全称命题,
则¬p为:?x0>0,x02+x0+1≤0,
故答案为:?x0>0,x02+x0+1≤0
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
15. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是
参考答案:
48种
略
16. 当时,下面的程序段输出的结果是
If Then
Else
Print y
参考答案:
6
17. 设函数,则的值为 .
参考答案:
-4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知命题P:关于x的方程x2﹣(a+3)x+a+3=0有两个不等正实根;命题Q:不等式ax2﹣(a+3)x﹣1<0对任意实数x均成立.若P∨Q是真命题,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【专题】计算题;方程思想;综合法;简易逻辑.
【分析】分别求出关于p,q成立的a的范围,从而求出P∨Q是真命题时的a的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)∵命题P:关于x的方程x2﹣(a+3)x+a+3=0有两个不等正实根,
∴,解得:a>1,
又∵命题Q:不等式ax2﹣(a+3)x﹣1<0对任意实数x均成立,
当a=0时:不等式变为:﹣3x﹣1≤0,解得:x≥﹣,显然不符合题意,
当a≠0时:,解得:﹣9<a<﹣1,
若P∨Q是真命题,则实数a的范围是:﹣9<a<﹣1或a>1.
【点评】本题考查了复合命题的判断,考查二次函数的性质,是一道中档题.
19. 有4个数,其中前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,并且第1个数与第4个数的和是16,第2个数与第3个数和是12,求这4个数。
参考答案:
解:设这个数为 ………………………2分
由题意得,, …………………………………6分
解得或. …………………………………10分
∴所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1 …………………………………12分
20. 已知函数f(x)=lnx,g(x)=.
(1)当k=e时,求函数h(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数k的值.
参考答案:
考点: 利用导数研究函数的极值.
专题: 导数的综合应用.
分析: (1)把k=e代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数的符号得到函数的单调区间,进一步求得函数的极值;
(2)求出函数h(x)的导函数,当k≤0时,由函数的单调性结合h(1)=0,可知h(x)≥0不恒成立,当k>0时,由函数的单调性求出函数h(x)的最小值,由最小值大于等于0求得k的值.
解答: 解:(1)注意到函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∴h(x)=lnx﹣,
当k=e时,
∴h(x)=lnx﹣,
∴h′(x)=﹣=,
若0<x<e,则h′(x)<0;若x>e,则h′(x)>0.
∴h(x)是(0,e)上的减函数,是(e,+∞)上的增函数,
故h(x)min=h(e)=2﹣e,
故函数h(x)的减区间为(0,e),增区间为(e,+∞),极小值为2﹣e,无极大值.
(2)由(1)知,h′(x)=﹣=,
当k≤0时,h′(x)>0对x>0恒成立,
∴h(x)是(0,+∞)上的增函数,
注意到h(1)=0,∴0<x<1时,h(x)<0不合题意.
当k>0时,若0<x<k,h′(x)<0;
若x>k,h′(x)>0.
∴h(x)是(0,k)上的减函数,是(k,+∞)上的增函数,
故只需h(x)min=h(k)=lnk﹣k+1≥0.
令u(x)=lnx﹣x+1(x>0),
∴u′(x)=﹣1=
当0<x<1时,u′(x)>0; 当x>1时,u′(x)<0.
∴u(x)是(0,1)上的增函数,是(1,+∞)上的减函数.
故u(x)≤u(1)=0当且仅当x=1时等号成立.
∴当且仅当k=1时,h(x)≥0成立,
即k=1为所求.
点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了数学转化思想方法和函数构造法,训练了利用函数的导函数判断函数的单调性,训练了利用导数求函数的最值,是有一定难度题目
21. (本小题满分8分)在锐角中,内角,,的对边分别为,,,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,,求的面积.(改编题)
参考答案:
22. 在单位正方体中,是的中点,如图建立空间直角坐标系.
(1)求证∥平面.
(2)求异面直线与夹角的余弦值.
(3)求直线到平面的距离.
参考答案:
(1)详见解析;(2);(3).
试题分析:(1)要证明线面平行,即先证明线线平行,连接,根据四边形是平行四边形,可证明,即平面外的线平行与平面内的线,则线面平行;(2)因为,所以可将异面直线与夹角转化为与的夹角,即,在等边三角形中,易求的余弦值;(3)求线与面的距离,可转化为空间向量的坐标法求解,包括前两问