山西省大同市南高崖中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数g(x)=Acosωx的图象,只需将f(x)的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
A
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】由题意可得,函数的周期为π,由此求得ω=2,由g(x)=Acosωx=sin,根据y=Asin(ωx+?)的图象变换规律得出结论.
【解答】解:由题意可得,函数的周期为π,故=π,∴ω=2.
要得到函数g(x)=Acosωx=sin的图象,
只需将f(x)=的图象向左平移个单位即可,
故选A.
【点评】本题主要考查y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,y=Asin(ωx+?)的周期性,属于中档题.
2.
某地区举行一次数学竞赛选拔,有1000人参加,已知参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100),则成绩在90分以上(含90分)的学生共有(参考数据)
A.23人 B.22 C. 46 D. 45
参考答案:
答案:A
3.
曲线在横坐标为-1的点处的切线为,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:A
4. 设表示直线,表示不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若且,则 B.若且,则
C.若且,则 D.若且,则
参考答案:
D
5. 大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个小孩共8人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
参考答案:
B
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,分2种情况讨论:①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的家庭,②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上,每种情况下分析乘坐人员的情况,由排列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目,由分类计数原理计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:
①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的家庭,
可以在剩下的三个家庭中任选2个,再从每个家庭的2个小孩中任选一个,来乘坐甲车,
有C32×C21×C21=12种乘坐方式;
②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上,
需要在剩下的三个家庭中任选1个,让其2个小孩都在甲车上,
对于剩余的2个家庭,从每个家庭的2个小孩中任选一个,来乘坐甲车,
有C31×C21×C21=12种乘坐方式;
则共有12+12=24种乘坐方式;
故选:B.
6. 若集合,则A∩B=( )
A.[1,+∞) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(﹣∞,1)
参考答案:
C
【考点】1E:交集及其运算.
【分析】化简集合A、B,根据交集的定义写出A∩B即可.
【解答】解:集合A={y|y=}={y|y∈R}=(﹣∞,+∞),
B={x|y=ln(x﹣1)}={x|x﹣1>0}={x|x>1}=(1,+∞);
∴A∩B=(1,+∞).
故选:C.
7. 设变量满足约束条件则的最大值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 已知函数,若,则实数
A. B. C. D. 或
参考答案:
D
略
9. 为得到函数的图像,只需将函数的图像 ( )
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
参考答案:
A
10. 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),若在(0,+∞)上为增函数,则称f(x)为“一阶比增函数”;若在(0,+∞)上为增函数,则称f(x)为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为.若函数,且,,则实数h的取值范围是( )
(A)(0,+∞) (B)[0,+∞) (C)(-∞,0) (D)(-∞,0]
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线,焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足,如果直线的斜率为,那么 .
参考答案:
12. 设n是正整数,集合M={1,2,…,2n}.求最小的正整数k,使得对于M的任何一个k元子集,其中必有4个互不相同的元素之和等于
参考答案:
解析:考虑M的n+2元子集P={n-l,n,n+1,…,2n}.
P中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,所以k≥n+3.
将M的元配为n对,Bi=(i,2n+1-i),1≤i≤n.
对M的任一n+3元子集A,必有三对同属于A(i1、i 2、i 3两两不同).
又将M的元配为n-1对,C i (i,2n-i),1≤i≤n-1.
对M的任一n+3元子集A,必有一对同属于A,
这一对必与中至少一个无公共元素,这4个元素互不相同,且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+3
13. 定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递增的,f(1)·f(2)<0.则函数y=f(x)的图象与x轴的交点个数是________.
参考答案:
2
略
14. 已知a与b为两个不共线的单位向量,若向量a+b与向量ka-b垂直,则实数k= ▲ .
参考答案:
1
15. 下面求的值的伪代码中,正整数的值可以为 .
参考答案:
2013,2014,2015.
16. 已知直线与圆相切,与直线平行且距离最大,则直线的方程是 .
参考答案:
17. 已知实数a,b满足,则函数f(x)= 的两个极值点都在(0,1)内的概率为______
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知,若,使成立.求的取值范围.
参考答案:
略
19. 某商场每天以每件100元的价格购入A商品若干件,并以每件200元的价格出售,若所购进的A商品前8小时没有售完,则商场对没卖出的A商品以每件60元的低价当天处理完毕(假定A商品当天能够处理完).该商场统计了100天A商品在每天的前8小时的销售量,制成如表格.
前8小时的销售量t(单位:件)
5
6
7
频 数
40
35
25
¬(Ⅰ)若某天该商场共购入7件A商品,在前8个小时售出5件. 若这些产品被7名不同的顾客购买,现从这7名顾客中随机选3人进行回访,记X表示这3人中以每件200元的价格购买的人数,求X的分布列;
(Ⅱ)将频率视为概率,要使商场每天购进A商品时所获得的平均利润最大,则每天应购进几件A商品,并说明理由.
参考答案:
【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.
【分析】(Ⅰ)由题意X的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.
(Ⅱ)设商场销售A商品获得的平均利润为ξ(单位:元),依题意,半频率视为概率,为使每天获得的平均利润最大,则每天应购进的件数为5件或6件或7件,分别求出相应的平均利润,由此能求出商场每天购进6件A商品时获得的平均利润最大.
【解答】解:(Ⅰ)由题意X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
∴X的分布列为:
X
1
2
3
P
(Ⅱ)设商场销售A商品获得的平均利润为ξ(单位:元),
依题意,半频率视为概率,为使每天获得的平均利润最大,
则每天应购进的件数为5件或6件或7件,
当购进5件时,E(ξ)=100×5=500,
当购进6件时,E(ξ)=(100×5﹣40)×+100×6×=544,
当购进件时,E(ξ)=(100×5﹣80)×+(100×6﹣40)×+100×=539,
∴商场每天购进6件A商品时获得的平均利润最大.
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法,考查要使商场每天购进A商品时所获得的平均利润最大,则每天应购进几件A商品的求法,是中档题,注意数学期望的性质的合理运用.
20. 设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3﹣x(x∈R)的一个极值点.
(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设a>0,.若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)﹣g(ξ2)|<1成立,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;不等式.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】(Ⅰ)求出f′(x),因为x=3是函数f(x)的一个极值点得到f′(3)=0即可得到a与b的关系式;令f′(x)=0,得到函数的极值点,用a的范围分两种情况分别用极值点讨论得到函数的单调区间;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f(x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,得到f(x)在区间[0,4]上的值域,又在区间[0,4]上是增函数,求出的值域,最大减去最小得到关于a的不等式求出解集即可.
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=﹣[x2+(a﹣2)x+b﹣a]e3﹣x,
由f′(3)=0,得﹣[32+(a﹣2)3+b﹣a]e3﹣3=0,即得b=﹣3﹣2a,
则f′(x)=[x2+(a﹣2)x﹣3﹣2a﹣a]e3﹣x
=﹣[x2+(a﹣2)x﹣3﹣3a]e3﹣x=﹣(x﹣3)(x+a+1)e3﹣x.
令f′(x)=0,得x1=3或x2=﹣a﹣1,
由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠﹣4.
当a<﹣4时,x2>3=x1,则
在区间(﹣∞,3)上,f′(x)<0,f(x)为减函数;
在区间(3,﹣a﹣1)上,f′(x)>0,f(x)为增函数;
在区间(﹣a﹣1,+∞)上,f′(x)<0,f(x)为减函数.
当a>﹣4时,x2<3=x1,则
在区间(﹣∞,﹣a﹣1)上,f′(x)<0,f(x)为减函数;
在区间(﹣a﹣1,3)上,f′(x)>0,f(x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f′(x)<0,f(x)为减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f(x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,
那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[min(f(0),f(4)),f(3)],
而f(0)=﹣(2a+3)e3<0,f(4)=(2a+13)e﹣1>0,f(3)=a+6,
那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[﹣(2a+3)e3,a+6].
又在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],
由于(a2+)﹣(a+6)=a2﹣a+=()2≥0,
所以只须仅须(a2+)﹣(a+6)<1且a>0,
解得0<a<.
故a的