四川省成都市都江堰第一中学高二数学文联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若为钝角三角形，三边长分别为2，3，，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
D
2. 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1中，模与向量的模相等的向量有（ ）
A．7个 B．3个 C．5个 D．6个
参考答案：
A
【考点】共线向量与共面向量．
【分析】利用相等向量与相反向量的模相等及其平行六面体的性质即可得出．
【解答】解：如图所示，模与向量的模相等的向量有以下7个：
，，，，，，，
故选：A．
3. 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是( )
A．=1.23x+4 B．=1.23x﹣0.08
C．=1.23x+0.8 D．=1.23x+0.08
参考答案：
D
4. 已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
5. 在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2 C. D.
参考答案：
B
6. “a≤2”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】圆的一般方程．
【分析】方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则4+4﹣4a＞0，可得a＜2，即可得出结论．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则4+4﹣4a＞0，∴a＜2，
∵“a≤2”是a＜2的必要不充分条件，
∴“a≤2”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆”的必要不充分条件，
故选B．
【点评】本题考查圆的方程，考查充要条件的判断，比较基础．
7. 椭圆的两焦点之间的距离为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
参考答案：
C
8. 已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是( ）
参考答案：
C
9. 曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
参考答案：
B
【考点】62：导数的几何意义．
【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．
【解答】解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．
故选B．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．
10. 复数=（ ）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解： ===1+2i，
故选：C．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在内，分别为角所对的边，若，，，则角的大小为 ．
参考答案：
12. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿
参考答案：
正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是
13. 设函数，则
参考答案：
14. 下列四个结论，其中正确的有 ．
①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；
②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变；
③一个样本的方差是s2= [（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x20﹣3）2]，则这组样本数据的总和等于60；
④数据a1，a2，a3，…，an的方差为 δ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2an的方差为4δ2．
参考答案：
①②③④
考点：极差、方差与标准差；频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：根据频率分布直方图中平均数、中位数以及样本的平均数与方差的关系，对每一个命题进行分析判断即可．
解答：解：对于①，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，
都等于，∴①正确；
对于②，一组数据中每个数减去同一个非零常数a，这一组数的平均数变为﹣a，
方差s2不改变，∴②正确；
对于③，一个样本的方差是s2= [（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x20﹣3）2]，
∴这组样本数据的平均数是3，数据总和为3×20=60，∴③正确；
对于④，数据a1，a2，a3，…，an的方差为δ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2an
的方差为（2δ）2=4δ2，∴④正确；
综上，正确的命题序号是①②③④．
故答案为：①②③④．（填对一个给一分）．
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数、平均数与方差的应用问题，是基础题目．
15. 已知圆（x﹣1）2+（y+2）2=6的圆心到直线2x+y﹣5=0的距离为 ．
参考答案：
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+2）2=6的圆心C（1，﹣2）到直线2x+y﹣5=0的距离d==．
故答案为：．
16. 用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是__________平方米.
参考答案：
25
17. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
参考答案：
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积?C2M?C2N的值．
【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的
极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，
故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入
圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ1=2，ρ2=，
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为?C2M?C2N=?1?1=．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．
19. 如图：已知直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p>0)交于M1,M2两点,直线y=与y轴交于点F.且直线y=恰好平分∠M1FM2.
(I)求P的值; ks5u
(Ⅱ)设A是直线y=上一点,直线AM2交抛物线于另点M3,直线M1M3交直线y=于点B,求·的值.
参考答案：
解：(Ⅰ) 由 ,整理得, 。。。。。。 1分
设(),(),
则 , 。。。。。。。。。。。。2
∵ 直线平分,∴ , 。。。。。。。。。。3
∴ ,即:,
∴ ,∴ ,满足,∴ 。。。。。。。。。。。5
(Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为,且,,,
设,A,,
由A、、三点共线得, 。。。。。。。。。。。6 ks5u
∴ ,即:,
整理得:, ① 。。。。。。。。。。7
由B、、三点共线,同理可得 , ② 。。。。。。。。8
②式两边同乘得:,
即:, ③ 。。。。。。。。。。。。。。。10
由①得:,代入③得:,
即:,∴ . 。。。。。。。。。。。。。。11
∴ 。。。。。。。。。。。。。。。12
略
20. （本题满分15分）在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完题后总得分为”．
（1）当时，记，求的分布列及数学期望及方差；
（2）当时，求的概率．
参考答案：
（1）的取值为1，3，又；
故，．
所以 ξ的分布列为：
1
3
且 =1×+3×=；
（2）当S8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，
又已知，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对题．
此时的概率为．
略
21. 如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1中，AB = 4，AD = 2，A1A = 2，点F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1E = λ EC1（λ为实数）．
（1）求二面角D1 - AC - D的余弦值；
（2）当λ =时，求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小；
（3）求证：直线与直线不可能垂直．
参考答案：
（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
则
，．
设平面的法向量为，
则．
即．令，则．
∴平面的一个法向量．
又平面的一个法向量为．
故，
即二面角的余弦值为．
（2）当λ =时，E（0，1，2），F（1，4，0），．
所以．
因为 ，所以为锐角，
从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为．
（3）假设，则．
∵，
∴，．
∴．化简得．
该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直．
22. 已知函数（为自然对数的底数）
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间。
参考答案：
解：……3分
（1）……7分
（2）令解得
令，解得
故的递增区间是……12分