四川省成都市鹤鸣镇中学2022年高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 的取值范围
参考答案:
A
2. 设变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为( )
A.﹣12 B.﹣1 C.0 D.
参考答案:
D
【考点】简单线性规划.
【分析】先画出满足约束条件的可行域,并求出各角点的坐标,然后代入目标函数,即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值.
【解答】解:满足约束条件的可行域如下图所示:
由图可知,由可得C(,﹣),
由:,可得A(﹣4,4),
由可得B(2,1),
当x=,y=﹣时,z=x﹣2y取最大值:.
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划,其中根据约束条件画出可行域,进而求出角点坐标,利用“角点法”解题是解答本题的关键.
3. 已知函数的定义域的图象如图所示,若正数则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
4. (2009福建卷理)等差数列的前n项和为,且 =6,=4, 则公差d等于
A.1 B C.- 2 D 3
参考答案:
C
解析∵且.故选C
5. 若复数 ,则 =
A.9+i B.9- i C.2+i D.2-i
参考答案:
A
略
6. 设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2+x)=f(2﹣x),当x∈时,f(x)=()x﹣1,若关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>0且a≠1)在区间(﹣2,6)内恰有4个不等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.(,1) B.(1,4) C.(1,8) D.(8,+∞)
参考答案:
D
【考点】根的存在性及根的个数判断;抽象函数及其应用.
【专题】转化思想;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】由题意,讨论0<a<1时,当0<a<1时,﹣2<x<0时,y=f(x)和y=loga(x+2)只有一个交点;故a>1.关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1),在区间(﹣2,6)内恰有四个不同实根可化为函数f(x)与函数y=loga(x+2)有四个不同的交点,作出函数f(x)与函数y=loga(x+2)的图象,由图象解出答案.
【解答】解:由f(x)是定义在R上的偶函数,
且f(2+x)=f(2﹣x),
即为f(x+4)=f(﹣x)=f(x),
则f(x)为周期为4的函数.
当x∈时,f(x)=()x﹣1,
可得x∈时,f(x)=f(﹣x)=()﹣x﹣1,
又∵f(x)=loga(x+2)(a>0且a≠1),
当0<a<1时,﹣2<x<0时,y=f(x)和y=loga(x+2)只有一个交点;
在0<x<6时,f(x)>0,loga(x+2)<0,则没有交点,
故a>1,作出它们在区间(﹣2,6)内图象如右图:
当x=6时,f(6)=f(2)=1,loga(6+2)=1,解得a=8,
由于﹣2<x<6,即有a>8,
y=f(x)和y=loga(x+2)有四个交点.
故选:D.
【点评】本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系,同时考查了数形结合的数学思想应用,属于中档题.
7. 设函数集合
则为( )
A. B.(0,1) C.(-1,1) D.
参考答案:
D
8. 将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,求得m的最小值
【解答】解:将函数y=cosx+sinx=2sin(x+)(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到y=2sin(x+m+),所得到的图象关于y轴对称,则m+=kπ+,k∈Z,即m=kπ+,
故m的最小值为;
故选C
9. 有关命题的说法中正确的是( )
A.命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;
B.命题“若,则”的形式是“若,则”;
C.若为真命题,则、至少有一个为真命题;
D.对于命题存在,使得,则对任意,均有。
参考答案:
D
略
10. 已知直线交抛物线于、两点,则△的形状为( ).
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.前三种形状都有可能
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 (用数字作答)。
参考答案:
先排其他三门艺术课有种排法,再把语文、数学、外语三门文化课插入由三门艺术课隔开的四个空中,有种排法,所以所有的排法有。6节课共有种排法。所以相邻两节文化课至少间隔1节艺术课的概率为。
12. 函数的图象恒过定点,且点在直线
上,其中,则的最小值为______________
参考答案:
13. 等比数列中,,则等于____________
参考答案:
16
略
14. 在边长为的正方形内任取一点,则点到点的距离小于的概率为
参考答案:
略
15. 已知x,y满足约束条件,则x2+4y2的最小值是 .
参考答案:
略
16. 已知函数,若方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 。
参考答案:
图象如图所示。
的实根即是可以看做是两个函数在图像上的交点个数。
g(x)的图像是恒过点(0,1)的直线,临界值是图中经过B,D两点的割线和过C的切线。计算出斜率值即可。
17. 从抛物线上一点引抛物线准线的垂线,垂足为,且.设抛物线的焦点为,则的面积为 .
参考答案:
10
由题意,得抛物线的交点坐标为,准线方程为,设抛物线上一点,又因为,所以,解得,则的面积为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设数列{an}满足:,,且.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列,,设{bn}的前n项和Tn.证明:.
参考答案:
(1);(2)证明见解析.
(1)∵数列满足:,,且,∴,
又,,∴,,∴,
∴是首项为,公差为的等差数列,
∴,∴.
(2)证明:∵数列,,
∴,
∴.
故.
19. (本题满分15分)已知函数 (且)
(Ⅰ)当时,判断函数在区间()上的零点个数,并说明理由;
(Ⅱ)若函数在上是单调函数,求的取值范围.
参考答案:
(II)∵
∴的根是…………………………………………………………………8分
当时,在上恒大于0,或者恒小于0,∴函数在上单调,
故……………………………………………………………11分
当时,若函数在上单调,则,故,……14分
综上.…………….…………………………15分
略
20. 已知,函数
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程.
(Ⅱ) 若,求在闭区间上的最小值.
参考答案:
略
21. (本小题满分12分)已知,函数.设,记曲线在点
处的切线为,与轴的交点是,为坐标原点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求的取值范围.
参考答案:
Ⅰ)解:曲线在点处的切线的方程为
令,得 ……………4分
(Ⅱ) 在上恒成立
设,
令,解得,
当时,取极大值
10当,即时,,满足题设要求;
20当,即,,
若,解得.
综上,实数的取值范围为. …………12分
22. 本小题满分12分)已知等差数列的公差d 0,且是方程的两个根.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和为 .
参考答案:
【解】:(Ⅰ)依题意, …………………………(6分)
(Ⅱ) ……………………(12分)
略