山西省大同市陈庄乡中学2022年高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设点P（）满足不等式组，则的最大值和最小值分别为（ ）
A B C D
参考答案：
A
略
2. 高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（ ）
A．2 B． C． D．
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体建立空间直角坐标系，由三视图求出A、C、D、E的坐标，设平面DEC的法向量，根据平面法向量的条件列出方程，求出法向量的坐标，由两平面的法向量求出成的锐二面角的余弦值，由平方关系求出正弦值，由商的关系即可求出正切值．
【解答】解：如图建立空间直角坐标系，截面是平面CDE，
由三视图得，A（0，0，0），E（0，0，2），D（0，2，4），
C（2，0，0），
所以，，
设平面DEC的法向量为，
则，即，
不妨令x=1，则y=﹣1，z=1，
可得，
又为平面ABC的法向量，
设所求二面角为θ，则，
∵θ是锐二面角，∴=，
则，
故选B．
3. 已知抛物线的焦点为F，，直线MF交抛物线于A，B两点，且M为AB的中点，则P的值为（ ）
A. 3 B. 2或4 C. 4 D. 2
参考答案：
B
设，
两式相减得
为的中点，
代入
解得或
故选
点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，在解题过程中运用了点差法来求解，先设出两点坐标，代入曲线方程，做减法运算，利用中点坐标，转化为斜率问题，即可求出答案，设而不求，当遇到直线与曲线中含有中点时可以采用点差法。
4. 从[0,10]上任取一个数x，从[0,6]上任取一个数y,则使得的概率是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
5. 函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为：，如果函数在区间上的图像如图所示，且，那么 （ ）
A．是的极大值点
B．=是的极小值点
C．不是极值点
D．是极值点
参考答案：
B
6. 已知函数，则的值为
A．1 B． C． D．
参考答案：
A
7. 数列{an}的前n项和为Sn，若，则S5=( )
A．1 B． C． D．
参考答案：
D
考点：数列的求和．
专题：计算题．
分析：由=，利用裂项求和法能求出S5．
解答： 解：∵=，
∴S5=a1+a2+a3+a4+a5
=
=1﹣
=．
故选D．
点评：本题考查数列前n项和的求法，是基础题．解题是要认真审题，注意裂项求法的灵活运用．
8. 已知函数 y = f (x) 是定义在R上的增函数，函数 y = f (x－1) 的图象关于点 (1, 0)
对称. 若对任意的 x, y∈R，不等式 f (x2－6x + 21) + f (y2－8y) < 0 恒成立，则当
x > 3 时，x2 + y2 的取值范围是
（A）(3, 7) （B）(9, 25) （C）(13, 49) （D）(9, 49)
参考答案：
C
略
9. 已知是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{ an}的第100项等于
A．25050 B．24950 C．2100 D． 299
参考答案：
A
10. 某几何体的正视图和侧视图均如左图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （几何证明选做题）如图，已知AB和AC是网的两条弦，过点B作圆的
切线与AC的延长线相交于点D．过点C作BD的平行线与圆相交于点E，
与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为 ．
参考答案：
4/3
略
12. 在中，的内心，若
，则动点的轨迹所覆盖的面积为 .
参考答案：
13. 已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是 ．
参考答案：
14. 对定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被G（X）替代，D称为“替代区间”．给出以下命题：
①f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2替代；
②f（x）=x可被g（x）=1﹣替代的一个“替代区间”为[，]；
③f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，则e﹣2≤b≤2；
④f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D2），则存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2 上被g（x）替代；
其中真命题的有 ．
参考答案：
①②③
考点：函数的值域．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：命题①直接由替代的定义得出为真命题；命题②|f（x）﹣g（x）|=，根据导数判断函数x+在区间上的最值，从而可说明|f（x）﹣g（x）|＜1，从而可判断该命题正确；命题③，根据替代的定义，|f（x）﹣g（x）|≤1在[1，e]上恒成立，根据导数判断函数lnx﹣x+b在[1，e]上的单调性，根据单调性即可求出函数lnx﹣x+b的值域，该值域应为区间[﹣1，1]的子集，从而可得出b的取值范围，从而判断该命题的正误；命题④可先找出一个D1∩D2区间，可以在此区间找到一个x使对任意a|f（x）﹣g（x）|＞1，从而便可判断出该命题错误，这样便可最后找出所有的真命题．
解答： 解：①∵|f（x）﹣g（x）|=＜1；
f（x）可被g（x）替代；
∴该命题为真命题；
②|f（x）﹣g（x）|=；
设h（x）=，h′（x）=；
∴时，h′（x）＜0，x∈（]时，h′（x）＞0；
∴是h（x）的最小值，又h（）=，h（）=；
∴|f（x）﹣g（x）|＜1；
∴f（x）可被g（x）替代的一个替代区间为[]；
∴该命题是真命题；
③由题意知：|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；
设h（x）=lnx﹣x+b，则h′（x）=；
∵x∈[1，e]；
∴h′（x）≤0；
∴h（x）在[1，e]上单调递减；
h（1）=b﹣1，h（e）=1﹣e+b；
1﹣e+b≤h（x）≤b﹣1；
又﹣1≤h（x）≤1；
∴；
∴e﹣2≤b≤2；
∴该命题为真命题；
④1）若a＞0，解ax2+x＞0得，x，或x＞0；
可取D1=（0，+∞），D2=R；
∴D1∩D2=（0，+∞）；
可取x=π，则|f（x）﹣g（x）|=aπ2+π＞1；
∴不存在实数a（a＞0），使得f（x）在区间D1∩D2 上被g（x）替代；
2）若a＜0，解ax2+x＞0得，x＜0，或x；
∴可取D1=（﹣∞，0），D2=R；
∴D1∩D2=（﹣∞，0）；
取x=﹣π，则|f（﹣π）﹣g（﹣π）|=|aπ2﹣π|＞1；
∴不存在实数a（a＜0），使得f（x）在区间D1∩D2 上被g（x）替代；
综上得，不存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2 上被g（x）替代；
∴该命题为假命题；
∴真命题的有：①②③．
故答案为：①②③．
点评：考查对替代定义的理解，根据函数导数判断函数单调性、求函数在闭区间上最值的方法，以及根据对数的真数大于0求函数定义域的方法，解一元二次不等式，在说明f（x）不能被g（x）替代的举反例即可．
15. 过双曲线x2－=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB| =λ的直线l恰有3条，则λ= ．
参考答案：
4
解：右支内最短的焦点弦==4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对称性有两条．故λ=4时
设AB的倾斜角为θ，则右支内的焦点弦λ==≥4，当θ=90°时，λ=4．
与左支相交时，θ=±arccos时，λ===4．故λ=4．
16. 不等式的解集为A，不等式的解集为B，若BA，则a 的取值集合是 ．
参考答案：
17. 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．
一年级
二年级
三年级
女生
373
C2
C1
男生
377
370
C2
参考答案：
16
【考点】分层抽样方法．
【分析】由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，由此可计算三件及学生数和三年级学生所占的比例，按此比例即可求出三年级抽取的学生人数．
【解答】解：由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，
所以三年级的学生数为；2000﹣373﹣377﹣380﹣370=500人，所占比例为
所以应在三年级抽取的学生人数为 64×=16
故答案为：16
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
参考答案：
解析：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立并消元得：（4+k2）x2+2kx－3=0， x1+x2=－y1+y2=，由 得：（x，y）=（x1+x2，y1+y2），即：
消去k得：4x2+y2－y=0当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2-－y= 0．
19. 已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，求m的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；
（Ⅲ）若?x＞0，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，求实数m的最大值．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（I）直接利用导数的几何意义即可求出m值；
（II）首先对y求导y'=f'（x）﹣g'（x）=，因为y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，所以h（x）=x2+[2﹣m（1﹣n）]x+1 在（0，+∞）内有至少一个实根且曲线与x不相切．
（III）当x=1时，由|f（1）|≥|g（1）|得n=1，当x＞1时，f（x）＞0，g（x）＞0；当0＜x＜1时，f（x）＜0，g（x）＜0；
令k（x）=f（x）﹣g（x），则问题转化为：当x＞1时，k（x）≥0恒成立，当0＜x＜1时，k（x）≤0恒成立；
【解答】解：（I）函数y=f（x）在x=1处的切线方程为y=x﹣1，
由g（1）=0得n=﹣1，由g'（1）=1得m=2；
（II）y'=f'（x）﹣g'（x）=，
因为y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，所以
h（x）=x2+[2﹣m（1﹣n）]x+1 在（0，+∞）内有至少一个实根且曲线与x不相切．
因为h（0）=1＞0，于是[2﹣m（1﹣n）]2﹣4＞0；
∴m（1﹣n）＞4或m（1﹣n）＜0；
由m（1﹣n）＞4知m+（1﹣n）≥2＞，所以m﹣n＞3；