天津怡和中学高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. .在△ABC中，若，则此三角形为（   ）三角形． A. 等腰 B. 直角 C. 等腰直角 D. 等腰或直角 参考答案： B 【分析】 由条件结合正弦定理即可得到，由此可得三角形的形状。 【详解】由于在△ABC中，有，根据正弦定理可得； 所以此三角形为直角三角形；、 故答案选B 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题。 2. 若命题，则：（    ）     A．            B．     C．            D． 参考答案： B 3. 函数y=ax+1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，1） 参考答案： C 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【分析】由指数函数的图象恒过定点（0，1），再结合函数图象的平移得答案． 【解答】解：∵函数y=ax的图象过点（0，1）， 而函数y=ax+1的图象是把函数y=ax的图象向上平移1个单位， ∴函数y=ax+1的图象必经过的点（0，2）． 故选C． 【点评】本题考查指数函数的图象变换，考查指数函数的性质，是基础题． 4. 函数的图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称       B．关于直线对称       C.关于点对称         D．关于直线对称 参考答案： D 5. 杭州二中要召开学生代表大会，规定各班每20人推选一名代表，当各班人数除以20的余数不小于11时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为 (   )         A. y＝[]          B. y＝[]         C. y＝[]         D. y＝[] 参考答案： B 略 6. 已知数列{an+81}是公比为3的等比数列，其中a1=﹣78，则数列{|an|}的前100项和为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】8E：数列的求和． 【分析】数列{an+81}是公比为3的等比数列，其中a1=﹣78，k可得an+81=3×3n﹣1，可得an=3n﹣81．n≤4时，an≤0，n≥5时，an＞0．因此数列{|an|}的前100项和=81﹣3+81﹣9+81﹣27+0+（35﹣81）+（36﹣81）+…+，再利用等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵数列{an+81}是公比为3的等比数列，其中a1=﹣78， ∴an+81=3×3n﹣1，可得an=3n﹣81． n≤4时，an≤0，n≥5时，an＞0． 则数列{|an|}的前100项和=81﹣3+81﹣9+81﹣27+0+（35﹣81）+（36﹣81）+…+ =204+﹣81× =． 故选：C． 7. 函数的最大值是(　　) 参考答案： D 1.下列框图符号中,表示处理框的是（     ） 参考答案： B 略 9. .已知集合 ，  ，则                                                              （      ） A．    B.    C.       D. 参考答案： A 10. 函数f（x）=lnx+x2+a﹣1有唯一的零点在区间（1，e）内，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣e2，0） B．（﹣e2，1） C．（1，e） D．（1，e2） 参考答案： A 【考点】二分法的定义． 【分析】利用导数得到函数为增函数，由题意可得f（1）＜0且f（e）＞0，解得即可． 【解答】解：∵f（x）=lnx+x2+a﹣1， ∴f′（x）=+2a＞0在区间（1，e）上恒成立， ∴f（x）在（1，e）上单调递增， ∵函数f（x）=lnx+x2+a﹣1有唯一的零点在区间（1，e）内， ∴f（1）＜0且f（e）＞0， 即， 解得﹣e2＜a＜0， 故选：A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过P（－2，4）及Q（3，－1）两点，且在X轴上截得的弦长为6的圆方程是__________ 参考答案： 或 12. 已知在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，且点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是_________． 参考答案： 60° 试题分析：如图，取中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱，可得得平面，故为与平面所成的角.设各棱长为，则，故答案为. 考点：正棱柱的性质及直线与平面成的角. 13. 已知奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=，则当x<0时，f（x）=_______． 参考答案： -3-x 14. 已知数列{an}的前n项和，则它的通项公式是_____; 参考答案： 【分析】 先根据数列的前项和，求出，再根据当时，求出，并验证当是否也满足，即可求出数列的通项公式。 【详解】数列的前项和 ，, 又， ，检验当时，， 【点睛】本题考查数列前项和与通项公式之间的关系，易错点是，所以必须要检验是否满足通项，属于基础题，必须掌握 15. 函数的定义域是______；值域是______. 参考答案：    解析：； 16. 已知指数函数的图像经过点（－2，），则      。 参考答案： ； 17. 已知平面和是空间中两个不同的平面，下列叙述中，正确的是         。（填序号） ①因为，，所以； ②因为，，所以； ③因为，，，所以； ④因为，，所以。 参考答案： ④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润） （1）将利润x表示为月产量x的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式； （2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论． 【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x， 从而利润f（x）=； （2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000， ∴当x=300时，有最大值25000； 当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数， ∴f（x）=60000﹣100×400＜25000． ∴当x=300时，有最大值25000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元． 19. 已知函数， ①用定义法判断的单调性。   ②若当时，恒成立，求实数的取值范围 参考答案： （1）定义域为R，任取 20. 已知集合，. （1）当时，求集合，；    （2）若，求实数m的取值范围． 参考答案： 解：(1)当时，，则 ,        (2) 当时，有，即            当时，有            综上，的取值范围： 21. 如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点． （1）求证：EF∥平面BCD； （2）求三棱锥A﹣BCD的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）由中位线定理可得EF∥CD，故EF∥平面BCD； （2）以BCD为底面，则棱锥的高为AB，代入体积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵点E，F分别是AC，AD的中点， ∴EF∥CD，又∵EF?平面BCD，CD?平面BCD， ∴EF∥平面BCD． （2）∵AB⊥平面BCD， ∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角， ∴∠ADB=45°， ∴AB=BD=4， ∵BC⊥BD， ∴S△BCD==6． ∴三棱锥A﹣BCD的体积V==8． 【点评】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题． 22. (10分) 如图，在四棱锥中,是平行四边形,分别是             的中点,求证：.   参考答案： 取的中点,连接为中点,         为的中位线,平行且等于,         又平行且等于,平行且等于,         四边形为平行四边形,.         又平面,AE平面,         平面PAD.