2022-2023学年天津大沽中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知复数,则z的虚部为( )
A.2i B.3i C.2 D.3
参考答案:
C
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】写出代数形式的标准形式,得到复数的虚部.
【解答】解: =3+2i,z的虚部为2,
故选C.
【点评】本题是一个考查复数概念的题目,在考查概念时,题目要先进行乘除运算,复数的加减乘除运算是比较简单的问题,在高考时有时会出现,若出现则是要一定要得分的题目.
2. 设集合,则( )
参考答案:
C
3. (06年全国卷Ⅱ理)如图,平面平面,与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为、则( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
答案:A
解析:连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A
4. 复数 ,则 ( ) A.25 B. C.5 D.
参考答案:
C
略
5. 将参数方程化为普通方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C 解析: 转化为普通方程:,但是
6. 设为等比数列的前项和,已知,则公比 ( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. (理科做)函数在[-1,3]上的最大值为( )
A、11 B、10 C、2 D、12
参考答案:
A
8. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,则抛物线方程是( )
A.y2=4x B.y2=2x C.y2=8x D.y2=6x
参考答案:
C
【考点】抛物线的简单性质;抛物线的标准方程.
【分析】利用抛物线的定义可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +,把线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10代入可得P值,然后求解抛物线方程.
【解答】解:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,
由抛物线的定义可知,
|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=(x1+x2)+p,
线段PQ中点的横坐标为3,
又|PQ|=10,∴10=6+p,可得p=4
∴抛物线方程为y2=8x.
故选:C.
9. 将函数的图象向左平移0 <2的单位后,得到函数y=sin的图象,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 使“”成立的一个充分不必要条件是 ( )
A. B. C. D.1
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表,已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现在分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为 .
参考答案:
12. 已知数列的前项和为,,且点在直线上
(1)求k的值;
(2)求证是等比数列;
(3)记为数列的前n项和,求的值.
参考答案:
(3), .
13. 如图,BE、CF分别为钝角△ABC的两条高,已知AE=1,AB=3,CF=4,则BC边的长为 .
参考答案:
考点:相似三角形的性质.
专题:选作题;立体几何.
分析:先求出BE,再利用△BEA∽△CFA,求出AC,可得EC,利用勾股定理求出BC.
解答: 解:依题意,AE=1,AB=3,得,
因△BEA∽△CFA得,所以AF=2,AC=6,
所以EC=7,
所以.
故答案为:.
点评:本题考查相似三角形的性质,考查学生的计算能力,正确运用相似三角形的性质是关键.
14. (5分)如图,点P为圆O的弦AB上的一点,连接PO,过点P作PC⊥OP,且PC交圆O于C.若AP=4,PC=2,则PB= .
参考答案:
考点: 与圆有关的比例线段.
专题: 计算题;几何证明.
分析: 根据题设中的已知条件,利用相交弦定理,直接求解.
解答: 解:延长CP,交圆于D,则
∵AB是⊙O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交⊙O于C,
∴PC=PD,
∴利用相交弦定理可得AP×PB=PC×PD=PC2,
∵AP=4,PC=2,
∴PB=1.
故答案为:1
点评: 本题考查与圆有关的比例线段的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意相交弦定理的合理运用.
15. 给定集合,定义中
所有不同值的个数为集合元素和的容量,用表示.若,则
;若数列是等差数列, 公差不为,设集合
(其中,为常数),则关于的表达式 .
参考答案:
略
16. 已知实数x,y满足,则目标函数u=x+2y的取值范围是 .
参考答案:
[2,4]
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用u的几何意义,利用数形结合即可得到结论.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由u=x+2y得y=x+,
平移直线y=x+,由图象可知当直线y=x+经过点A(2,1)时,
直线y=x+的截距最大,此时z最大,为u=2+2=4,
当直线y=x+经过点B(2,0)时,
直线y=x+的截距最小,此时z最小,为u=2,
故2≤u≤4
故答案为:[2,4];
17. 某班开展一次智力竞赛活动,共a,b,c三个问题,其中题a满分是20分,题b,c满分都是25分.每道题或者得满分,或者得0分.活动结果显示,全班同学每人至少答对一道题,有1名同学答对全部三道题,有15名同学答对其中两道题.答对题a与题b的人数之和为29,答对题a与题c的人数之和为25,答对题b与题c的人数之和为20.则该班同学中只答对一道题的人数是 ;该班的平均成绩是 .
参考答案:
4,42
【考点】众数、中位数、平均数.
【分析】利用方程组求出答对题a,题b,题c的人数,再计算答对一题的人数和平均成绩.
【解答】解:设xa、xb、xc分别表示答对题a,题b,题c的人数,
则有,
解得xa=17,xb=12,xc=8;
∴答对一题的人数为37﹣1×3﹣2×15=4,
全班人数为1+4+15=20;
平均成绩为×(17×20+12×25+8×25)=42.
故答案为:4,42.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,四棱锥中,,,,,,,点为中点.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案:
(1)证明:取中点,连接、,
∵,,
∴,,
∵,
∴平面,平面,
∴,又∵,
∴.
(2)解:过做于,
∵平面,平面,
∴,∵,∴平面.
过做交于,则、、两两垂直,
以、、分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系,
∵,,,,点为中点,
∴,,
∴,
∴,
∴,,.
∵,,
∴,,
∴四边形是矩形,,
∴,,,,
∵为中点,
∴,
∴,,.
设平面的法向量,
由,得,
令,得,
则,
则与所成角设为,其余角就是直线与平面所成角,设为,
,
∴直线与平面所成角的正弦值为.
19. [选修4?4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
参考答案:
解:(1)因为,且,所以C的直角坐标方程为. l的直角坐标方程为.
(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,).
C上的点到l的距离为.
当时,取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.
20. 某工厂生产某种水杯,每个水杯的原材料费、加工费分别为元、元(为常数,且),设每个水杯的出厂价为元(),根据市场调查,水杯的日销售量与(为自然对数的底数)成反比例,已知每个水杯的出厂价为元时,日销售量为个.
(Ⅰ)求该工厂的日利润(元)与每个水杯的出厂价(元)的函数关系式;
(Ⅱ)当每个水杯的出厂价为多少元时,该工厂的日利润最大,并求日利润的最大值.
参考答案:
略
21. 已知数列{an}共有2k(k≥2,k∈Z)项,a1=1,前n项和为Sn,前n项乘积为Tn,且an+1=(a﹣1)Sn+2(n=1,2,…,2k﹣1),其中a=2,数列{bn}满足bn=log2,
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤,求k的值.
参考答案:
【考点】数列的求和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】(1)由已知条件推导出an+1﹣an=(a﹣1)an,从而,由此能求出数列{bn}的通项公式.
(2)令,当n≤k时,,当n≥k+1时,,由此能求出k的值.
【解答】(本小题满分13分)
解:(1)当n=1时,a2=2a,则;
当2≤n≤2k﹣1时,an+1=(a﹣1)Sn+2,an=(a﹣1)Sn﹣1+2,
所以an+1﹣an=(a﹣1)an,故=a,即数列{an}是等比数列,,
∴Tn=a1×a2×…×an=2na1+2+…+(n﹣1)=,
bn==.…
(2)令,则n≤k+,又n∈N*,故当n≤k时,,
当n≥k+1时,.…
|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|
=+()+…+()…
=(k+1+…+b2k)﹣(b1+…+bk)
=[+k]﹣[]
=,
由,得2k2﹣6k+3≤0,解得,…
又k≥2,且k∈N*,所以k=2.…
【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查满足条件的实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质和构造法的合理运用.
22. 选修4-1:几何证明选讲
在中,AB=AC,过点A的直线与其外接圆
交于点P,交BC延长线于点D。
(1)求证: ;
(2)若AC=3,求的值。
参考答案:
解:(1), ~,
又 (5分)
(2)~,
(10分)
略