2023届广西壮族自治区钦州市第四中学高三上学期1月考试数学(文)试题
一、单选题
1.在中,若,,的面积为,则( )
A.13 B. C.2 D.
【答案】B
【分析】先用面积公式求出c,再用余弦定理求出a.
【详解】在中, ,,的面积为,
所以,解得:c=4.
由余弦定理得:
,
所以.
故选:B.
2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cos2=,则△ABC是
A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】A
【详解】∵cos2=,2cos2﹣1=cosA,
∴cosA=,即,
∴△ABC是直角三角形.
故选A.
3.在中,内角、、所对的边分别为、、,,,,则的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由三角形的面积公式可求得的值,利用余弦定理可求得的值,再利用正弦定理可求得的值.
【详解】由三角形的面积公式可得,解得,
由余弦定理可得,
设的外接圆半径为,由正弦定理,
所以,.
故选:A.
4.在中,,,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】在中,根据,求得,再由正弦定理求解.
【详解】在中,因为,,
所以,
,
,
,
由正弦定理得,
所以,
故选:D
5.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
【答案】A
【分析】先确定∠CAB和∠ACB,然后由正弦定理可直接求解.
【详解】如图所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,
根据正弦定理得=,
解得BC=10 (海里).
故选:A
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,属于基础题.
6.已知△中,,,分别是、的等差中项与等比中项,则△的面积等于
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【分析】由,分别是、的等差中项与等比中项,可得出,的值,再由用正弦定理可得出,从而得出,再由三角形面积公式及可求出面积.
【详解】由题可知, ,由正弦定理可知,又,所以,所以或,所以或,由三角形面积公式可得,所以或.
故选:D
【点睛】本题主要考查数列性质、正弦定理、三角形面积公式的综合应用,解题的关键是熟练应用数列性质、正弦定理、三角形面积公式.
7.在非钝角中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,且,则的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】C
【分析】由已知利用正弦定理可得,由于,可求,可得,进而可求,即可判定得解的形状为等边三角形.
【详解】解:在非钝角中,,
由正弦定理可得:,
,
,可得:,
,,
,,
,
,的形状为等边三角形.
故选:C.
8.在中,角,,的对边分别为,,若,,,则的面积( )
A. B. C.1 D.
【答案】A
【分析】由已知利用正弦定理可得,利用同角三角函数基本关系式可求的值,根据三角形的面积公式即可计算得解.
【详解】解:,
,由正弦定理可得,
,
,
的面积.
故选:A.
9.已知椭圆的左右焦点分别为,,点是椭圆上一点,且是直角三角形,的面积等于( )
A.3 B. C.3或 D.3或
【答案】C
【分析】根据椭圆定义和勾股定理,结合三角形面积公式即可求解.
【详解】由于是椭圆上一点,∴,
两边平方可得,即,
因为是直角三角形,
当时,,∴根据勾股定理可得,
综上可解得,∴的面积等于;
当时,,∴根据勾股定理可得,结合
,计算可得,∴的面积等于;
当时,,∴根据勾股定理可得,结合
,计算可得,∴的面积等于.
故选:.
10.如图所示,为了测量某座山的山顶A到山脚某处B的距离(AB垂直于水平面),研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为,山脚B的俯角为.若该研究员还测得B到C处的距离比到D处的距离多,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】设出,,通过已知在中由余弦定理得出,过点C作,结合已知得出与即可得出答案.
【详解】设,则,
,,
则在中由余弦定理可得:
,
解得:,
则,,
过点C作,
研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为,山脚B的俯角为,
,,
则,
,
则,,
则,
,
故选:B.
11.在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则C等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由正弦定理边角关系有,结合已知、余弦定理求,即可确定角的大小.
【详解】由正弦定理边角关系:化为,
由余弦定理得:,
而,故.
故选:B
12.在中,角、、所对的边分别是,,,若,且,则角的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意,由余弦定理即可得到,再由正弦定理得到,从而得到结果.
【详解】因为,且由余弦定理可得,
所以,且,所以
又,即,所以
所以,即
故选:C
二、填空题
13.内角的对边分别为,若的面积为,则_________
【答案】
【分析】由余弦定理可得,根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案.
【详解】由余弦定理可得,所以
的面积为
所以 即,由
所以
故答案为:
14.在中,角所对的边分别是,并且,,,则的值为______.
【答案】或
【分析】利用余弦定理列出关系式,将及代入方程中解出验证即可.
【详解】在中,因为,,,
所以由余弦定理得:,
即:,
解得:或
当时,,,,,满足题意;
当时,,,,,满足题意;
故答案为:或.
15.已知中,为的角平分线交于点,且,,,则的长为___________.
【答案】
【分析】由面积关系,利用三角形面积公式,结合二倍角公式得到,再结合余弦定理和已知条件得到关于的方程求解.
【详解】由角平分线的定义可得,
∵,
∴,
又∵=,
∴ ,
∴
,
又∵,,,
∴,
整理得:,
即:,
∵,∴,
∴,
故答案为:
16.已知,分别为椭圆的左右焦点,为坐标原点,椭圆上存在一点,使得,设的面积为,若,则该椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】由可得为直角三角形,故,且,结合,联立可得,即得解
【详解】由题意,故为直角三角形
又,
又为直角三角形,故
即
故答案为:
三、解答题
17.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求B的大小;
(2)若,求的面积.
【答案】(1); (2).
【分析】(1)由正弦定理和两角和的正弦函数公式,化简得,求得,即可求解;
(2)由余弦定理可得,结合,求得,利用三角形的面积公式,即可求解.
【详解】(1)因为,
由正弦定理可得,
又,
所以,
因为,则,所以,
因为,所以.
(2)因为,,
由余弦定理可得,整理得,
又,解得,
所以.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要抓住题设条件和利用某个定理的信息,合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
18.在中,A,B,C的对边分别是a,b,c,,
(1)求角B的大小;
(2)若,,求边上的高;
【答案】(1)(2)
【分析】(1)由正弦定理将已知等式边化角,可得的值,即可求出角;
(2)根据余弦定理结合已知条件求出,进而求出的面积,即可求出边上的高.
【详解】(1)在中,因为,
由正弦定理得,,
因为,,所以,
所以, 因为,所以.
(2)设边上的高为,
因为,,,
所以,
即,所以,
,,
所以边上的高.
【点睛】本题考查正余弦定理、面积公式解三角形,考查运算求解、逻辑推理能力,属于中档题.
19.如图,在直角中,,,,点在线段上.
(1)若,求的长;
(2)点是线段上一点,,且,求的值.
【答案】(1)3;(2).
【解析】(1)在中,利用正弦定理即可得到答案;
(2)由可得,在中,利用及余弦定理得,解方程组即可.
【详解】(1)在中,已知,,,由正弦定理,
得,解得.
(2)因为,所以,解得.
在中,由余弦定理得,
,
即,
,
故.
【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的计算能力,是一道中档题.
20.在中,已知且.
(1)试确定的形状;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)直角三角形;(2).
【分析】(1)根据正弦定理化简整理得到即可判断三角形的形状;(2)由正弦定理将表示成,接着根据三角函数的知识求解取值范围即可.
【详解】解:(1)由正弦定理得:,
所以①
因为,
所以
所以,②
把②代入①得
所以是直角三角形
(2)由(1)知,所以
所以.
根据正弦定理得
因为,所以
即的取值范围是.
21.在中,内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角的大小
(2)若,点是的重心,且,求内切圆的半径.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1)利用正弦定理将边转化成角,可得到,结合角的范围即可求解;
(2)利用点是的重心得到,平方可得,接着利用余弦定理可得,然后用等面积法即可求解
【详解】(1)因为,
由正弦定理可得,
即,
又,所以,所以,即,
又,所以,所以,解得
(2)因为点是的重心,所以,
所以,
即,解得或舍.
由余弦定理得,解得.
设内切圆的圆心,半径为,则
即,
即,
解得,即内切圆的半径为.
22.中,角对应的边分别是,已知.
(1)求角的大小;
(2)若的面积,,求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用诱导公式、二倍角的余弦公式,求得的值,可得的值.
(2)利用余弦定理求得,再利用正弦定理求得的值.
【详解】(1)由,
得:,
即,
即,
解得或(舍去)
因为,所以.
(2)由,
得,又,解得,
由余弦定理:
,
故,
又由正弦定理:,
所以,
,
所以.