南昌市三校（一中､十中､铁一中）高三上学期第二次联考 数学试卷（理科） 时长：120分钟试卷总分：150分 一､选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分） 1. 已知复数z满足，则（） A. B. 3 C. D. 2. 若集合，集合，则等于 A. B. C. D. 3. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（） A. B. C. D. 2 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（） A. B. C. D. 5. 在等边中，O为重心，D是的中点，则（） A. B. C. D. 6. 若实数，满足约束条件，则的最大值为（） A. B. 3 C. 6 D. 10 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C D. 8. 函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的一条对称轴为直线 C. 函数的一个对称中心坐标为 D. 再向左平移个单位得到的函数为偶函数 9. 钝角的内角A，B，C的对边分别是，若，则的面积为（） A. B. C. D. 或 10. 已知函数，对于实数a，使成立的一个必要不充分条件是（） A B. C. D. 或 11. 已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（） A. B. C. D. 12. 已知函数，若，则的取值范围为（） A. B. C. D. 二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若向量，，且，则实数的值是______. 14. 抗击新冠疫情期间，，，共名医学专家被分配到甲、乙、丙、丁四所医院指导抗议工作，每所医院只去人，其中专家不去甲医院也不去乙医院，专家与专家不去甲医院也不去丁医院，如果专家不去乙医院，则去丁医院是专家_________ 15. 已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，若，则的最小值为__________. 16. 已知，则__________. 三､解答题（本题共5小题，每小题12分，共60分） 17. 已知各项为正数的数列的前项和为，若. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，求证：． 18. 如图在四棱锥中，底面，且底面是平行四边形.已知是中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 某校为减轻暑假家长负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立． （1）若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p； （2）若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望． 20. 已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围. 21. 设， （1）当时，求证：对于任意； （2）设，对于定义域内，有且仅有两个零点求证：对于任意满足题意的，． （二）选做题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求的极坐标方程； （2）若直线的极坐标方程为，设，的交点为，求的面积． 23. 已知的最小值为． （1）求的值； （2）若正实数满足，求的最小值． 南昌市三校（一中､十中､铁一中）高三上学期第二次联考 数学试卷（理科） 命题人：朱志江学校：南昌十中考试时长：120分钟试卷总分：150分 一､选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分） 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】D 9.【答案】C 10.【答案】C 11.【答案】B 12.【答案】D 二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 【答案】1 14. 【答案】 15.【答案】 16.【答案】## 三､解答题（本题共5小题，每小题12分，共60分） 17. 已知各项为正数的数列的前项和为，若. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用公式，时，，代入化简得到数列的递推公式，即可求解通项公式； （2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式. 【小问1详解】 当时，，解得； 当时，由，得， 两式相减可得，，又， ，即是首项为，公差为的等差数列， 因此，的通项公式为； 【小问2详解】 证明：由可知，所以， ， 因为恒成立，所以， 又因为，所以单调递增，所以， 综上可得． 18. 如图在四棱锥中，底面，且底面是平行四边形.已知是中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明出平面，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以A为原点，分别为x，y，z轴正方向建系，利用向量法求解. 【小问1详解】 面，且， . ∵是中点,所以. 同理可证：. 又面，面，, 平面. ∵面， ∴平面平面. 【小问2详解】 ，. 以A为原点，分别为x，y，z轴正方向建系，如图： 则. 设平面的法向量 则，得，不妨取，则. 由（1）得是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 19. 某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立． （1）若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p； （2）若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）将小明同学恰好投中2次分成三种情况，分别求得概率相加与已知概率相等构造等式，解方程即可求出的值； （2）首先由题意可得得分的可能取值分别为，，，，，分别计算每种情况的概率即可求得的分布列，最后根据数学期望的计算公式求解的数学期望即可. 【小问1详解】 设小明在处投篮为事件，在处投篮分别为 已知小明同学恰好投中2次，分三种情况 中中不中； 中不中中； 不中中中； 其概率为：，解得：. 【小问2详解】 由题意可得得分的可能取值分别为，，，， ； ； ； ； . 综上所述可得的分布列为 5 3 2 1 0 20. 已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出关于方程组，即可求椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，联立方程，将向量关系，转化为坐标关系，并利用韦达定理消元整理，并根据，求解. 【小问1详解】 由题可知 解得 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，设，，， 由，，得， 同理，当,时，得，所以， 当直线l的斜率存在时，即时， 设直线的方程为， 联立 消去y得. 因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q， 所以， 即①. 设， 则②， 则， 由，得③， ③代入②得， 化简整理得④， 将④代入①得， 化简得， 解得或. 综上，m的取值范围为. 21. 设， （1）当时，求证：对于任意； （2）设，对于定义域内的，有且仅有两个零点求证：对于任意满足题意的，． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入中，构造新函数求导，利用函数导数单调性判断即可；（2）先化简，根据解析式分析在两段上各有一个零点或者在第二段上有两个零点，分别讨论分析即可. 【小问1详解】 证明：当时，，令 所以 所以 因为，所以 所以在上单调递增 所以 所以对于任意， 【小问2详解】 由 当时， 当时， 所以 依题有且仅有2个零点， 当，不满足题意 所以在两段上各有一个零点或者在第二段上有两个零点． ①两段上各有一个零点，令． 则，得 ，得 因此： 令，恒成立， 所以在单调递减. 要证： 即证： 即证： 即证： 因为 所以 所以成立， 因此，成立 ②若均在同一段：上， 则必有 所以对于任意满足题意的，． 【点睛】导数题常作为压轴题出现，常见的考法： ①利用导数研究含参函数的单调性（或求单调区间）， ②求极值或最值 ③求切线方程 ④通过切线方程求原函数的解析式 ⑤不等式恒（能）成立问题，求参数的取值范围 ⑥证明不等式 解决问题思路：对函数求导利用函数的单调性进行求解；构造新函数对新函数，然后利用函数导数性质解决. （二）选做题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求的极坐标方程； （2）若直线的极坐标方程为，设，的交点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用得到的极坐标方程； （2）方法一：代入，得到或，求出，利用垂径定理求出高，从而求出面积； 方法二：化为直角坐标方程为，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理得到的长，从而求出面积. 【小问1详解】 已知圆，得， 因为， 所以为圆的极坐标方程． 【小问2详解】 方法一：代入， 可得， 解得或， ∴， 又因半径，则， ∴； 方法二：直线：化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离， 由半径 ∴， ∴. 23. 已知的最小值为． （1）求的值； （2）若正实数满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先在数轴上标根，把数轴分成三区，再打开绝对值，写出分段函数，求其最小值. （2）先把两边平方，再利用重要不等式进行放缩求出结果. 【小问1详解】 由已知， 当时，；当时，；当时，. 所以，即，即． 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 因为，当时取等号；同理，当时取等号；，当时取等号. 所以， 则， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为．