第8章 概率 8.1.3贝叶斯公式 ◆ 教学目标 1. 通过概率乘法公式，推导得出n=2时的贝叶斯公式，推广得到贝叶斯公式. 2. 分析比较贝叶斯公式与全概率公式的区别与联系. ◆ 教学重难点 教学重点：贝叶斯公式的推导. 教学难点：贝叶斯公式的应用. ◆ 教学过程 一、新课导入 回顾：当要求一件有多个因素影响的事件概率的时候，我们常会用到全概率公式，你能说出他的内容吗？ 答：全概率公式：一般地，A1，A2，⋯,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，⋯，n，则对于任意的事件B⊆Ω，有 PB=i=1nP(Ai)PB|Ai 追问：具体的，当上述n=2时的形式是怎样的？ 答：PB=P(A1)PB|A1+P(A2)PB|A2，其中，A1，A2互为对立事件. 二、新知探究 问题1：标号分别为1，2的两个箱子， 1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得的球是红球的条件下，这个球来自1号箱子的概率是多少？ 答：设事件B表示“取得红球”，事件Ai表示“球取自i号箱”（i=1，2）.则由概率的乘法公式可得P(A1)PB|A1=PA1B=PBPA1|B 由此可得: PA1|B=P(A1)PB|A1PB 由全概率公式可知： P(B)=P(A1)PB|A1+P(A2)PB|A2=12 ×15+12 ×25=310 P(A1)PB|A1=12 ×15=110 PA1|B=P(A1)PB|A1PB=13 问题2：将箱子增加到三个，分别编号为1，2，3.1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得的球是红球的条件下，这个球来自1号箱子的概率是多少？ 答：设事件B表示“取得红球”，事件Ai表示“球取自i号箱”（i=1，2）. P(B)=P(A1)PB|A1+P(A2)PB|A2+P(A3)PB|A3=13 ×15+13 ×25+13×1=815 P(A1)PB|A1=13 ×15=115 PA1|B=P(A1)PB|A1PB=18 问题3：若将箱子增加到n个，你能总结得出怎样的结论？ 贝叶斯公式：设A1，A2，⋯,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，⋯，n，则对于任意的事件B⊆Ω，P(B)>0,则有 三、应用举例 例1：有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6％，第2，3台加工的次品率均为5％，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25％，30％，45％． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i＝1，2，3）台车床加工的概率． 追问：“任取一个零件，它是次品” 可以表示为哪些两两互斥的事件的并？ 答：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能．设B＝“任取一零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3）， 如图所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并. 解：（1）设B＝“任取一个零件为次品”， Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），可知Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥． 根据题意得P（B）＝P（A1）P（B| A1）＋P（A2）P（B| A2）＋P（A3）P（B| A3） ＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5． （2） “如果取到的零件是次品，计算它是第i（i＝1，2，3）台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率． 类似的，可得P（A2|B）＝27 ，P（A3|B）＝37 ． 设计意图：通过例题进一步强化应用全概率公式计算概率的方法与步骤，通过问题（2）中的条件概率的计算，为引出贝叶斯公式作准备. 追问：上面的例题解答中，概率P（Ai），P（Ai | B）的实际意义是什么？ 答：P（Ai）是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率，当已知抽到的零件是次品（B发生），P（Ai | B）是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率. 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么27，27，37就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额. 四、课堂练习 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． （1）分别求接收的信号为0和1的概率； （2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 追问:接收信号为0和1分别是哪些两两互斥事件的并? 答: 接收信号为0是事件 “信号0被正确接收”和“信号1被错误的接收”的并. 接收信号为1是事件 “信号1被正确接收”和“信号0被错误的接收”的并. 解: 设A＝“发送的信号为0”，B＝“接收到的信号为0”，则 A＝“发送的信号为1”,B＝“接收到的信号为1”．由题意得 P（A）＝P（A）＝0.5，P（B|A）＝0.9，P（B|A）＝0.1 P（B|A）＝0.05，P（B|A）＝0.95 （1）P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（A）P（B|A）＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475， P（B）＝1－P（B）＝1－0.475＝0.525． （2）PAB=P（A）P（B|A）P（B）=0.5×0.050.475=119 设计意图：通过具体实例，巩固全概率公式和贝叶斯公式，加强它们的应用. 五、课堂小结 1.贝叶斯公式：设A1，A2，⋯,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，⋯，n，则对于任意的事件B⊆Ω，P(B)>0,则有 2. P（Ai）是试验之前就已知的概率，是先验概率，当已知时间B发生的条件下，P（Ai | B）是后验概率.贝叶斯公式属于执果索因. 六、布置作业 课本99页练习