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第8章 概率 8.1.3贝叶斯公式 ◆ 教学目标 1. 通过概率乘法公式,推导得出n=2时的贝叶斯公式,推广得到贝叶斯公式. 2. 分析比较贝叶斯公式与全概率公式的区别与联系. ◆ 教学重难点 教学重点:贝叶斯公式的推导. 教学难点:贝叶斯公式的应用. ◆ 教学过程 一、新课导入 回顾:当要求一件有多个因素影响的事件概率的时候,我们常会用到全概率公式,你能说出他的内容吗? 答:全概率公式:一般地,A1,A2,⋯,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪⋯∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,⋯,n,则对于任意的事件B⊆Ω,有 PB=i=1nP(Ai)PB|Ai 追问:具体的,当上述n=2时的形式是怎样的? 答:PB=P(A1)PB|A1+P(A2)PB|A2,其中,A1,A2互为对立事件. 二、新知探究 问题1:标号分别为1,2的两个箱子, 1号箱装有1个红球和4个蓝球,2号箱装有2个红球和3个蓝球,这些球除颜色外完全相同.某人先从两箱中任取一箱,再从该箱子中任意摸出一球,求取得的球是红球的条件下,这个球来自1号箱子的概率是多少? 答:设事件B表示“取得红球”,事件Ai表示“球取自i号箱”(i=1,2).则由概率的乘法公式可得P(A1)PB|A1=PA1B=PBPA1|B 由此可得: PA1|B=P(A1)PB|A1PB 由全概率公式可知: P(B)=P(A1)PB|A1+P(A2)PB|A2=12 ×15+12 ×25=310 P(A1)PB|A1=12 ×15=110 PA1|B=P(A1)PB|A1PB=13 问题2:将箱子增加到三个,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球和4个蓝球,2号箱装有2个红球和3个蓝球,3号箱装有3个红球,这些球除颜色外完全相同,某人先从三箱中任取一箱,再从中任意摸出一球,求取得的球是红球的条件下,这个球来自1号箱子的概率是多少? 答:设事件B表示“取得红球”,事件Ai表示“球取自i号箱”(i=1,2). P(B)=P(A1)PB|A1+P(A2)PB|A2+P(A3)PB|A3=13 ×15+13 ×25+13×1=815 P(A1)PB|A1=13 ×15=115 PA1|B=P(A1)PB|A1PB=18 问题3:若将箱子增加到n个,你能总结得出怎样的结论? 贝叶斯公式:设A1,A2,⋯,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪⋯∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,⋯,n,则对于任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,则有 三、应用举例 例1:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率; (2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率. 追问:“任取一个零件,它是次品” 可以表示为哪些两两互斥的事件的并? 答:取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3), 如图所示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并. 解:(1)设B=“任取一个零件为次品”, Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),可知Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥. 根据题意得P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3) =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5. (2) “如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率. 类似的,可得P(A2|B)=27 ,P(A3|B)=37 . 设计意图:通过例题进一步强化应用全概率公式计算概率的方法与步骤,通过问题(2)中的条件概率的计算,为引出贝叶斯公式作准备. 追问:上面的例题解答中,概率P(Ai),P(Ai | B)的实际意义是什么? 答:P(Ai)是试验之前就已知的概率,它是第i台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率,当已知抽到的零件是次品(B发生),P(Ai | B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率. 如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,那么27,27,37就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的份额. 四、课堂练习 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率; (2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率. 追问:接收信号为0和1分别是哪些两两互斥事件的并? 答: 接收信号为0是事件 “信号0被正确接收”和“信号1被错误的接收”的并. 接收信号为1是事件 “信号1被正确接收”和“信号0被错误的接收”的并. 解: 设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”,则 A=“发送的信号为1”,B=“接收到的信号为1”.由题意得 P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1 P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95 (1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475, P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525. (2)PAB=P(A)P(B|A)P(B)=0.5×0.050.475=119 设计意图:通过具体实例,巩固全概率公式和贝叶斯公式,加强它们的应用. 五、课堂小结 1.贝叶斯公式:设A1,A2,⋯,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪⋯∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,⋯,n,则对于任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,则有 2. P(Ai)是试验之前就已知的概率,是先验概率,当已知时间B发生的条件下,P(Ai | B)是后验概率.贝叶斯公式属于执果索因. 六、布置作业 课本99页练习
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