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第8讲函数与方程基础题组练1(2020浙江省名校联考)已知函数yf(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.4337424.536.7123.6则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个 B3个C4个 D5个解析:选B.依题意,f(2)0,f(3)0,f(5)0,根据零点存在性定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有3个2(2020温州十校联考(一)设函数f(x)ln xx2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析:选B.法一:因为f(1)ln 11210,所以f(1)f(2)0,因为函数f(x)ln xx2的图象是连续的,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)法二:函数f(x)的零点所在的区间为函数g(x)ln x,h(x)x2图象交点的横坐标所在的区间,作出两函数的图象如图所示,由图可知,函数f(x)的零点所在的区间为(1,2)3已知函数f(x)cos x,则f(x)在0,2上的零点个数为()A1 B2C3 D4解析:选C.作出g(x)与h(x)cos x的图象如图所示,可以看到其在0,2上的交点个数为3,所以函数f(x)在0,2上的零点个数为3,故选C.4已知函数f(x)tan x,若实数x0是函数yf(x)的零点,且0tx0,则f(t)的值()A大于1 B大于0C小于0 D不大于0解析:选B.y1是减函数,y2tan x在上也是减函数,可知f(x)tan x在上单调递减因为0tf(x0)0.故选B.5(2020兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点,则实数的值是()A. B.C D解析:选C.因为函数yf(2x21)f(x)只有一个零点,所以方程f(2x21)f(x)0只有一个实数根,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)f(x),所以f(2x21)f(x)0f(2x21)f(x)f(2x21)f(x)2x21x,所以方程2x2x10只有一个实数根,所以(1)242(1)0,解得 .故选C.6(2020宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)kx2(kR)有四个不同的零点,则实数k的取值范围是()Ak0 Bk1C0k1解析:选D.分别画出y与ykx2的图象如图所示,当k0,x0时,令f(x)kx20,即kx32kx2x0,即x(kx22kx1)0,即x0或kx22kx10,因为4k24k0,且0时,方程有唯一解即当x0时,方程有两个解当k0,x0,解得k1,综上所述k1.7(2020金丽衢十二校高三联考)设函数f(x),则f(f(e)_,函数yf(x)1的零点为_解析:因为f(x),所以f(e)ln e1,f(f(e)f(1)tan 00,若01,f(x)1ln x1xe.答案:0e8已知函数f(x)a的零点为1,则实数a的值为_解析:由已知得f(1)0,即a0,解得a.答案:9已知函数f(x)则函数g(x)f(x)的零点所构成的集合为_解析:令g(x)0,得f(x),所以或解得x1或x或x,故函数g(x)f(x)的零点所构成的集合为.答案:10(2020杭州学军中学模拟)已知函数f(x)|x34x|ax2恰有2个零点,则实数a的取值范围为_解析:函数f(x)|x34x|ax2恰有2个零点即函数y|x34x|与y2ax的图象有2个不同的交点作出函数y|x34x|的图象如图,当直线y2ax与曲线yx34x,x0,2相切时,设切点坐标为(x0,x4x0),则切线方程为y(x4x0)(3x4)(xx0),且经过点(0,2),代入解得x01,此时a1,由函数图象的对称性可得实数a的取值范围为a1.答案:a111设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1,b2时,求函数f(x)的零点;(2)若对任意bR,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围解:(1)当a1,b2时,f(x)x22x3,令f(x)0,得x3或x1.所以函数f(x)的零点为3和1.(2)依题意,f(x)ax2bxb10有两个不同实根,所以b24a(b1)0恒成立,即对于任意bR,b24ab4a0恒成立,所以有(4a)24(4a)0a2a0,解得0a0时,有3个零点;当k0时,有4个零点;当k0),则“f0,函数f(x)开口向上,f(x)有两个零点,最小值必然小于0,当取得最小值时,x,即f0,令f(x),则f(f(x)f,因为f0,所以f(f(x)0,所以f(f(x)必有两个零点同理f0f0,开口向上,f0,必有两个零点所以C选项正确3(2020瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x的不等式x2|xa|xa|,则02x2.在同一坐标系画出y2x2(y0,x0)和y|x|两个函数图象,将绝对值函数y|x|向左移动,当右支经过(0,2)点时,a2;将绝对值函数y|x|向右移动让左支与抛物线y2x2(y0,x0)相切时,由,可得x2xa20,再由0解得a.数形结合可得,实数a的取值范围是.答案:4已知函数f(x),g(x)logx,记函数h(x)则函数F(x)h(x)x5的所有零点的和为_解析:由题意知函数h(x)的图象如图所示,易知函数h(x)的图象关于直线yx对称,函数F(x)所有零点的和就是函数yh(x)与函数y5x图象交点横坐标的和,设图象交点的横坐标分别为x1,x2,因为两函数图象的交点关于直线yx对称,所以5,所以x1x25.答案:57
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