专题33 双星多星模型 卫星的变轨及能量问题 拉格朗日点 考点一 双星模型双星系统：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，而且两颗星与该中心点总在同一直线上，如图，1.两个星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即m1r1，m2r22.两颗星的周期及角速度都相同，即T1T2，123.两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1r2L4.由m1r1m2r2 得：两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即5.双星的总质量公式m1m2 推论： L3T2kM总6.双星的运动周期T2 1(多选)我国天文学家通过“天眼”（FAST，500米口径球面射电望远镜）在武仙座球状星团M13中发现一个脉冲双星系统，如图所示，由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若恒星A的质量为3m，恒星B的质量为5m，恒星A和恒星B之间的距离为L，引力常量为G。下列说法正确的是（）A恒星A运行的角速度大于恒星B运行的角速度 B恒星A与恒星B的线速度之比为5:3C恒星A到O点的距离为35L D恒星B的运行周期为L32Gm【答案】BD【解析】A由于双星系统在相等时间内转过的圆心角相同，则双星的角速度一定相等，A错误；C对恒星A有G5m3mL2=3m2rA 对恒星B有G3m5mL2=5m2rB 解得rArB=53又由于 rA+rB=L 解得 rA=58L，rB=38L C错误；B根据 v=r 解得 vAvB=53 B正确；D恒星B的运行周期为 T=2=L32Gm D正确。 2（2022全国高三课时练习）(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在。该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小。若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是（）A甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为3629B甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等C随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小D甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等【答案】BC【解析】AB由牛顿第三定律知，两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，它们的角速度相等，且有Fnm2r可知，甲、乙两个黑洞做圆周运动的半径与质量成反比，由vr知，线速度之比为2936，选项A错误，B正确；C 设甲、乙两个黑洞质量分别为m1和m2，轨道半径分别为r1和r2，有 Gm1m2(r1+r2)2m1(2T)2r1 Gm1m2(r1+r2)2m2(2T)2r2联立可得 T242(r1+r2)3G(m1+m2)随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小，选项C正确；D甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，由牛顿第二定律aFm可知，甲、乙两个黑洞的向心加速度大小 a1a22936 选项D错误。 故选BC。3(多选)中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过对脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成，如图所示。质量分布均匀的恒星A、B双星系统绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为T1，两者间距为L；C为B的卫星，绕B沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为T2，且T2OB，则（）A星球A的线速度等于星球B的线速度B星球A所受向心力大于星球B所受向心力C双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期增大D两星球的总质量等于42L3GT2 【答案】D【解析】A双星围绕同一点同轴转动，其角速度、周期相等，由v=r可知，星球A的轨道半径较大，线速度较大，A错误；B双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知向心力大小相等，B错误；C双星A、B之间的万有引力提供向心力，有GmAmBL2=mA2RA GmAmBL2=mB2RB其中 =2T L=RA+RB联立解得 mA+mB=42GT2RA+RB3=42L3GT2即 T=42L3GmA+mB 故当双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期也减小，C错误；D根据C选项计算可得 mA+mB=42L3GT2 D正确。5（2022全国高三课时练习）宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是（）A每颗星做圆周运动的线速度为3GmLB每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的2倍【答案】C【解析】A任意两颗星之间的万有引力为FGmmL2 每一颗星受到的合力为F1=3F由几何关系可知，它们的轨道半径为r33L 合力提供它们的向心力3GmmL2mv2r联立解得v=GmLA错误；B根据3GmmL2=ma 解得a=3GmL2 故加速度与它们的质量有关，B错误；C根据 3GmmL2=m42rT2 解得 T=233L3Gm若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍， C正确；D根据 v=GmL可知，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度不变，D错误。 6（2022江西景德镇高一期中）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质重相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行：另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则（）A直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B直线三星系统的运动周期为T=4RR5GMC三角形三星系统中星体间的距离为L=3RD三角形三星系统的线速度大小为v=125GMR【答案】B【解析】A直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，运动半径相同，由v=R甲星和丙星的线速度大小相等，方向不同，故A错误；B万有引力提供向心力GM2R2+GM22R2=M42T2R 得T=4RR5GM 故B正确；C两种系统的运动周期相同，根据题意可得，三星系统中任意星体所受合力为 F=2cos30GM2L2=3GM2L2则 F=M42T2r 轨道半径r与边长L的关系为 L=3r 解得 L=3125R 故C错误；D三角形三星系统的线速度大小为 v=2rT 得 v=3125365GMR 故D错误。7（2022全国高三专题练习）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，如图所示，设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上、已知引力常量为G，关于四星系统，下列说法正确的是（）A四颗星的向心加速度的大小均为22GmL2B四颗星运行的线速度大小均为12(4+2)GmLC四颗星运行的角速度大小均为1L(1+22)GmLD四颗星运行的周期均为2L2L(1+22)Gm【答案】B【解析】一个星体受其他三个星体的万有引力作用，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，四颗星的轨道半径r=22L，根据万有引力提供向心力，有 Gm2(2L)2+2Gm2L2cos45=mv222L=m42T222L=m222L=ma解得 a=(1+22)Gm2L2 v=12(4+2)GmL =1L(4+2)Gm2L T=2L(42)L7Gm故B正确，A、C、D错误。8（2020湖南长郡中学高三阶段练习）(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。天眼在观察中发现三颗质量均为m的星球A、B、C恰构成一个边长为L的正三角形，在它们的中心O处还有一颗质量为3m的星球，如图所示。已知引力常量为G，四个星球的密度相同，每个星球的半径均远小于L。对于此系统，若忽略星球自转，则下列说法正确的是（）AA、B、C三颗星球的线速度大小均为(1+33)GmLBA、B、C三颗星球的加速度大小均为(23+3)GmL2C星球A和中心O处的星球表面的重力加速度之比为12D若O处的星球被均分到A、B、C三颗星球上，A、B、C三颗星球仍按原轨道运动，则A、B、C三颗星球运动的周期将变大【答案】AD【解析】AB