宜春市2023年高三年级模拟考试数学（理）试卷命题人：潘隆仙（奉新一中）朱细秀（商安中学）审题人：杨应曙（宜春中学）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上.2.回答选择题前，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B.C. D.2.若复数满足为纯虚数，且，则的虚部为（ ）A.1 B. C. D.13.给出下列命题，其中正确命题的个数为（ ）若样本数据的方差为4，则数据的方差为8；回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；随机变量服从正态分布，则；在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.已知实数满足约束条件则的最大值是（ ）A.3 B. C. D.5.已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D.6.若，则（ ）A. B.C. D.7.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数只有1为公约数，则称互质，对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，.记为数列的前项和，则（ ）A. B. C. D.8.函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，下列说法正确的是（ ）A.函数图象关于直线对称B.函数图象关于点对称C.函数在单调递减D.函数最小正周期为9.在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）A. B. C. D.10.如图所示，在等腰梯形中，现将梯形依次绕着各点顺时针翻转，则在第一次绕着点翻转的过程中，对角线扫过的平面区域面积为（ ）A. B. C. D.11.已知数列满足，若数列的前项和，对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.12.已知双曲线的左右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（ ）A. B. C. D.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则到点的距离为2的点的坐标可以是_.（写出一个满足条件的点就可以）14.已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是_.15.已知是定义在上的奇函数，满足，当时，则在区间上所有零点之和为_.16.如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：当为的中点时，平面；存在点，使得；三棱锥的体积为定值；三棱锥的外接球的体积为.其中正确的结论序号为_.三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）在中，角所对的边分别为，且.（1）求证：；（2）求的最小值.18.（12分）党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向，为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程.为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛.甲乙两个单位进行党史知识竞赛，每个单位选出3人组成甲乙两支代表队，每队初始分均为3分，首轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分，已知甲队3人每人答对的概率分别为；乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示首轮甲队总分.（1）求随机变量X的分布列及其数学期望；（2）求在甲队和乙队总分之和为12分的条件下，甲队与乙队得分相同的概率.19.（12分）如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为，连结并延长交于点.（1）证明：是线段的中点；（2）求平面与平面夹角的正弦值.20.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，以为圆心，6为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点的直线的斜率分别为，且，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，线段的中点分别为，直线与椭圆交于两点，是椭圆的左右顶点，记与的面积分别为，证明：为定值.21.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）对任意的恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第2223题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程.（1）求曲线的普通方程；（2）若直线与曲线有两个不同公共点，求的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数满足，求证：.2023届高三模拟考试数学参考答案一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案CBBBAADCCDCA二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.上的任意一点都可以 14. 15.4044 16.三解答题.17.（1）证明：在中，由正弦定理得，又，因为所以所以又所以，且所以，故.（2）由（1）得，所以，因为所以当且仅当即且当且仅当时等号成立，所以当时，的最小值为.18.解：（1）的可能取值为.所以的分布列为0369（2）设“甲队和乙队得分之和为12”为事件，“甲队与乙队得分相同”为事件，则，所以所以在甲队和乙队总分之和为12分的条件下，甲队与乙队得分相同的概率.19.（1）因为平面平面因为.因为平面平面因为.又因为因为平面，又因为平面所以.又由已知可得是的中点.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设则易知平面，又由因为平面所以由正三棱锥的性质可知是的重心所以所以则设平面的法向量则令得平面的法向量，设平面与平面的夹角为所以平面与平面夹角的正弦值为.20.（1）解：依题意得则则所以椭圆的方程为（2）直线设则则中点同理可算当直线斜率存在时，设直线点在直线上则易知为方程的两个根，则得所以直线则直线恒过点当直线的斜率不存在时，由对称性可知由不妨设所以直线过根据可知，直线恒过点因为的面积的面积所以.21.（1）函数的定义域为，当时，即时，在上恒成立，在上单调递增，当时，即时，令得，所以，当时，单调递增；当时，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）因为对任意的恒成立，即恒成立，所以恒成立，令，因为，设，则，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，令，则恒成立，所以，在上单调递增，因为，所以，方程有解，等号能够取到；所以，所以，要使恒成立，则，即，所以，的取值范围是.22.（1）因为则则曲线的普通方程为（2）则由得得有两个不等正根则23.解：（1）则或则或则所以原不等式解集为（2）当时所以因为所以成立