上海市杨浦区2023届高三二模数学试卷2023.04一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合，则_2. 复数的虚部是_3. 已知等差数列中，则数列的通项公式是_.4. 设，则_5. 函数的导数是_6. 若圆锥的侧面积为，高为4，则圆锥的体积为_7. 由函数的观点，不等式的解集是_8. 某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为_分9. 内角、的对边是、，若，则_10. 若是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为_.11. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为_12. 已知非零平面向量、满足，且，则的最小值是_二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13. 已知、，则“”是“”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要14. 对成对数据、用最小二乘法求回归方程是为了使（ ）A B. C. 最小D. 最小15. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是（ ）A. B. C. D. 16. 如图，一个由四根细铁杆、组成的支架（、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（ ）A. B. C. 2D. 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17. 已知一个随机变量的分布为：.（1）已知，求、值；（2）记事件：为偶数；事件：.已知，求，并判断、是否相互独立？18. 四边形是边长为1正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为.（1）求点到平面距离；（2）求直线与平面所成的角.19. 如图，某国家森林公园一区域为人工湖，其中射线、为公园边界.已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线的轨迹方程为：.计划修一条与湖边相切于点的直路（宽度不计），直路与公园边界交于点、两点，把人工湖围成一片景区.（1）若点坐标为，计算直路的长度；（精确到0.1千米）（2）若为曲线（不含端点）上的任意一点，求景区面积的最小值.（精确到0.1平方千米）20. 已知椭圆的右焦点为，直线.（1）若到直线的距离为，求；（2）若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求；（3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围.21. 已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，.（1）写出数列前4项的所有可能取法；（2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由；（3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值.