21.3 实际问题与一元二次方程（胡雯雯）21.3.1倍数问题及增长率问题一、教学目标（一）核心素养联系实际，经历“问题情境建立模型求解解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力，及分析、解决问题的能力，培养学生数学建模的能力.（二）学习目标1.使学生学会根据具体问题（用一定速度传播，数字问题，增长率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解.2.进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力.3.能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.（三）学习重点建立数学模型，找等量关系，列方程（四）学习难点找等量关系，列方程二、教学设计（一）课前设计预习任务1.列方程解应用题的一般步骤： 审；设 ；找 ；列 ；解 ；检验 ；答 .2. n表示变化的次数预习自测1. 一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，这个三位数可以表示为_ _.【知识点】字母表示数【解题过程】三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c， 这个三位数表示为100c+10b+a【思路点拨】各个数位上的数字乘以其对应的基数之和即可表示数.【答案】100c+10b+a2. 某班班长通知同学春游事宜，由班长通知若干同学后，再由已知晓事宜的同学通知其他人，已知经过两轮通知，全班49人恰好都得到通知.问：平均每个同学一次能通知_人.【知识点】倍数问题【解题过程】设平均每个同学一次通知x人，则第一轮通知了x人，第一轮结束时共有（1+x）人知晓；第二轮通知了x（1+x）人，共有1+x+ x（1+x）人知晓.故有1+x+ x（1+x）=49，x1=6，x2=-8（舍）.故，平均每个同学一次能通知6人.【思路点拨】原有人数+本轮通知人数=总人数【答案】6人.3.若某公司2019年的销售利润为10万元，年增长率为10%，则2019年的销售利润是 ,若维持此增长率不变，2019年的销售利润为 万元.【知识点】增长率问题【解题过程】2019年的利润是10（1+10%）=11（万元）； 2019年的利润是10（1+10%）（1+10%）=12.1（万元）【思路点拨】【答案】11万元；12.1万元.4某地严格控制森林砍伐面积，若一月份的砍伐面积为10000m2，以后每月减少20%，则三月份的砍伐面积为 m2【知识点】增长率问题【解题过程】二月砍伐面积为10000（120%）=8000（m2）； 三月砍伐面积为10000（120%）（120%）=6400（m2）.【思路点拨】【答案】6400 m2. (二)课堂设计1.知识回顾（1）列方程解应用题的一般步骤：审，设，找，列，解，检验，答.（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解.（3）现有量原有量=增长量，2.问题探究探究一 倍数问题活动1 疾病传染问题有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？师问：设每轮传染中一个人传染了x个人.（1） 开始有一个人患了流感，那么第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮传染后共有_个人患了流感；（2） 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_个人患有流感.（3） 等量关系是： 生答：（1）(x+1)；（2）1+x+x（1+x）；（3）患病总人数=121人.思考：如何列方程求解生答：列方程：1+x+x（1+x）=121解方程，得：x1=10，x2=12（不合题意，舍去）故，平均一个人传染10个人.教师点拨：原有感染人数+新增感染人数=总感染人数.【设计意图】本题以流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，特别需要注意的是，弄清问题背景，特别注意分析清楚题意.题中没有特别说明，那么最早的患者没有痊愈，仍在继续传染别人.活动2 写信问题一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有42条消息，问：这个微信群里共有多少人？师问：（1）设有x个好友，每人发 条消息； （2）则发消息共有 条. （3）等量关系是：_.生答：（1）（x1）条；（2）x（x1）条；（3）共有42条消息.师问：如何列方程求解生答：依题意得x（x1）=42；解得x1=7，x2=6（不合题意，舍去）答：微信群里共7个人教师点拨：每个好友都有一次发给微信群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；人数每人发出消息数=总数. 【设计意图】考虑写信类似问题时，要考虑到每个人都会给其他人写信，这样，人数每人写信数=总数.探究二 数字问题活动1 奇偶数相关问题两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数师问：（1）设较小的奇数为_，则较大的奇数为 ; （2）等量关系是：_.生答：（1）x，x+2；（2）两个连续奇数的平方和为130.师问：如何列方程求解生答：解：设这两个连续奇数为x，x+2，根据题意得x2+（x+2）2=130解得：x1=9（不合题意，舍去），x2=7答：两个连续奇数为7,9.教师点拨：根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是130列出方程求解即可要注意是否符合实际情况.【设计意图】会用字母表示符合条件的数，从而找到等量关系.活动2 多位数相关问题已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数.师问：（1）设个位数字为x，则十位数字为 （2）等量关系是：_.生答：（1）12x；（2）个位数字与十位数字之积为32.师问：如何列方程求解生答：解：设个位数字为x，则十位数字为12x，由题意得x（12x）=32； 解得x1=8，x2=4.答：48或84.教师点拨：根据个位数字与十位数字之积为32，列出方程解答即可.【设计意图】会用字母表示多位数，并根据等量关系求解.探究三 增长率问题活动1 增长问题某校办工厂今年元月份生产桌椅1000套，2月份因春节放假，减产10%，3月份，4月份产量逐月上升，4月份产量达到1296套，求3，4月份的平均增长率师问：（1）设3,4月平均增长率为x，则2月份产量是_; 三月份的产量是 ; 四月份的产量是 .（2）等量关系是：_生答：（1）1000（110%）；1000（110%）（1+x）; 1000（110%）（1+x）2（2）4月份产量达到1296套.师问：如何列方程求解生答：解： 设三、四月份产量的平均增长率是x根据题意得1000（110%）（1+x）2=1296 解得：x1=0.2=20%，x2=2.2（不合题意，舍去）答：平均增长率是20%.教师点拨：设三、四月份产量的平均增长率是x根据题意依次找出二月份，三月份，四月份的产量，根据四月份产量达到1296套，可列方程【设计意图】学会根据具体问题（增长率）中的等量关系列方程.活动2 减少问题受某种因素影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降，由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？师问：（1）设平均每次下调的百分率是x，则第一次降价后的价格为 ，第二次降价后的价格是 .（2）等量关系是：_.生答：（1）16（1x），16（1x）（1x）；（2）下降两次后的价格是9元.师问：如何列方程求解生答：解： 列出的方程是16（1x）2=9， 解得x1=25%，x2=175%（不合题意，舍去）答：平均每次下降的百分率是25%.教师点拨：若每次下调的百分率为x，找出下降两次后的价格，把相应数值代入即可列方程【设计意图】学会根据具体问题（减少率）中的等量关系列方程.探究四 倍数及增长率问题训练活动1 基础型例题例1. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是 人【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设参加会议有x人，依题意得：x（x1）=66，整理得：x2x132=0解得x1=12，x2=11，（舍去）答：参加这次会议的有12人【思路点拨】设参加会议有x人，每个人都与其他（x1）人握手，共握手次数为x（x1），根据题意列方程【答案】12人.练习：一次排球友谊赛，参赛队中每两队都要赛1场，若此次友谊赛共66场，则本次参赛球队有（）A14队B13队C12队D11队【知识点】一元二次方程的应用. 【解题过程】解：设有x个队，每个队都要赛（x1）场，但两队之间只有一场比赛，x（x1）2=66，解得x=12或11（舍去）故应12个球队参加比赛【思路点拨】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=即可列方程求解【答案】C【设计意图】进一步巩固对此类问题的掌握.活动2 提高型例题例. 已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是【知识点】一元二次方程的应用. 【解题过程】解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x+2），由题意得，x（x+2）=15，解得，x=3或x=5，【答案】这两个数为3和5或3和5【思路点拨】设出两个连续的奇数，根据两个连续奇数的积是15这一等量关系，列出方程解答即可练习：相邻的两自然数，它们的平方和比这两数中较小者的2倍大51，则这两自然数分别为【知识点】一元二次方程的应用.【思路点拨】设较小的正整数为n，大的就为n+1，等量关系为两数的平方和比较小数的2倍大51【解题过程】解：设较小的正整数为nn2+（n+1）2=2n+51n=5或n=5（舍去）【答案】5，6【设计意图】进一步巩固对数字问题的掌握.活动3 探究型例题例. 近年来随着国际石油价格的上涨，我国加快了对新能源汽车产业的扶持力度2019年国家启动了节能汽车推广工作，2019年新能源汽车产量达到15万辆，预计2019年新能源汽车的累计产量能达到105万辆（1）求这两年的新能源汽车产量的平均增长率为多少？（2）通过计算估计2019年新能源汽车的产量能否突破100万辆？【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：（1）设这两年的新能源汽车产量的平均增长率为x，由题意得15+15（1+x）+15（1+x）2=105，解得x=1，x=4（不符题意，舍去）故这两年的新能源汽车产量的平均增长率为100%；（2）2019年新能源汽车的产量为：15（1+x）2=60（万辆），2019年新能源汽车的产量为：60（1+x）=120（万辆）100（万辆）所以2019年新能源汽车的产量能突破100万辆【思路点拨】（1）2019年的产量+2019年的产量+