初中数学竞赛精讲及练习（2）倍数约数一、内容提要1两个整数A和B（B0），如果B能整除A（记作BA），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如315，15是3的倍数，3是15的约数。2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。3整数A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，都是A的倍数，例如5的倍数有5，10，。4整数A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1和A。例如6的约数是1，2，3，6。5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。7在有余数的除法中，被除数除数商数余数若用字母表示可记作：ABQR，当A，B，Q，R都是整数且B0时，AR能被B整除例如23372则232能被3整除。二、例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232。解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，32231，2，3，64221，2，43321，3，3232231，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是：设Aambn(a，b是质数,m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：36023325，360的正约数的个数是（31）（21）（11）24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：24233，902325最大公约数是23， 记作（24，90）6最小公倍数是23325360， 记作24,90=360例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：322，442都能被N整除，N是30，42的公约数（30，42）6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，N6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。解：10,9,8=360,所以所求的数是359三、练习21， 12的正约数有_,16的所有约数是_2， 分解质因数300_,300的正约数的个数是_3， 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。4， 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_5， 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_最大三位数是_6， 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A_7， 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答_8， 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9， 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？练习参考答案：1.1，2，3，4，6，12；1，2，3，6，9，182.22352；183.25；22534.6935.3，5，11165，1155；9906.A3即求142与232的公约数7.30，60，908. （135，105）15，正约数有1，3，5，159. 119。2，3，4，5，660，6021119 例题：1某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、 3、 5、 +4、 8、 +6、 3、6、 4、 +10。（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？解答：（1）0km，就在鼓楼； （2）139.2元。2. 同学们都知道,|5(2)|表示5与2之差的绝对值,实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离。试探索：(1)求|5(2)|=_。(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是_。(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x3|+|x6|是否有最小值？如果有写出最小值如果没有说明理由。(8分)解答：3或1或5或9。