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华侨大学 2016 年硕士研究生入学考试专业课试卷(答案必须写在答题纸上)招生专业 基 础 数 学 科目名称 高等代数 科目代码 823 一、(本题满分一、(本题满分 2020 分)分)计算n阶行列式123naaaaaaaaDaaaaaaana,其中a是常数 二、(本二、(本题满分题满分 2020 分)分)讨论,a b取什么值时,方程组1231231234224axxxxbxxxbxx 有唯一解?无解?有无穷多解?并在有无穷多解时,求出它的一般解。三、(本题满分三、(本题满分 2020 分)分)设我们有以下四个四维的实向量12(1,2,1,0),(1,1,1,1),TT 1(2,1,0,1),T 2(1,1,3,7)T。令112(,)VL 是由12,生成的子空间,212(,)VL 是由12,生成的子空间。求1V与2V的和12VV以及交12VV的基与维数。四、(本题满分四、(本题满分 1515 分)分)设是欧氏空间V上的一个变换,若对任意的向量,V,都有(),()(,),其中(,)是V上的内积。求证:是V上的线性变换。共 页 第 页 招生专业 基 础 数 学 科目名称 高等代数 科目代码 823 五、(本题满分五、(本题满分 2020 分)分)设A是n阶正定矩阵。证明:(1)1A和kA都是正定的,其中k是任意正整数。(2)对任意的正实数,a b c,矩阵32naAbAcE也是正定的,其中nE是n阶单位矩阵。六、(本题满分六、(本题满分 1515 分)分)设100101110A。(1)求A的特征多项式。(2)证明A在复数域上可对角化,但是A在有理数域上不可对角化。七七、(本题满分、(本题满分 2020 分)分)设2()12!nxxf xxn。(1)证明:()f x没有重因式。(2)证明:当n是素数时,()f x在有理数域上是不可约的。八八、(本题满分、(本题满分 2 20 0 分)分)设,是数域F上n维线性空间V的线性变换。(1)证明:对非零向量V,存在正整数kn,使得由,(),()k 生成的子空间W是的不变子空间,并求|W在一组基下的矩阵。(2)证明:max的零度,的零度的零度的零度+的零度。(注意:的零度是其核空间Ker的维数)共 页 第 页
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