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2020-2021学年北京市首都师大二附中高一(下)期末数学试卷一、选择题1已知复数z+i(其中i为虚数单位),z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2若向量(0,1),(2,1),(1,1),则()ABCD3函数y2cos2(x)1是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数4已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为()ABCD5设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosBasinA,则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定6在平面直角坐标系中,已知两点A(cos80,sin80),B(cos20,sin20),则|的值是()ABCD17在边长为1的正方形ABCD中,向量,则向量,的夹角为()ABCD8已知zC,则“z2|z|2”是“z为纯虚数”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件9已知i为虚数单位,下列说法中正确的有()个(1)若复数z满足,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上;(2)若复数z满足z+|z|2+8i,则复数z15+8i;(3)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模;(4)复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|z1z2|,则A1B2C3D410在ABC中,a,b分别为内角A,B所对的边,b5,B30,若ABC有两解,则a的取值范围是()A(2,5)B(5,10)C(2,2)D(2,10)二、填空题11(1)设复数(其中i为虚数单位),则z的虚部是 (2)已知复数z满足|z|1,则|z3i|的取值范围为 (其中i为虚数单位)12在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC,且,ABC的面积S为 13已知函数f(x)2cos2x+sin2x4cosx(1) ;(2)时,f(x)的最小值为 14如图,ABC中,D为BC中点,ADAB,AD1,则 15设当x时,函数f(x)sinx2cosx取得最大值,则cos 16已知C是平面ABD上一点,ABAD,CBCD1若3,则 ;+,则的最大值为 三、解答题17已知(0,),(0,),且tan(),tan,求tan(2)的值及角218已知函数(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)设是锐角,且,求f()的值19在ABC中,(1)若c25a2+ab,求;(2)求sinAsinB的最大值20在ABC中BAC120,ABAC1(1)求的值;(2)如图所示,在直角坐标系中,点A与原点重合,边AB在x轴上,设动点P在以A为圆心,AB为半径的劣弧上运动求的最小值2020-2021学年北京市首都师大二附中高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1已知复数z+i(其中i为虚数单位),z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据已知条件,结合共轭复数的概念,以及几何意义,即可求解【解答】解:z+i,复数在复平面内对应的点 位于第三象限故选:C【点评】本题考查了共轭复数的概念,以及几何意义,属于基础题2若向量(0,1),(2,1),(1,1),则()ABCD【分析】根据题意,依次分析选项,综合可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项;对于A,(2,2),有21(2)1,()不成立,A错误,对于B,(2,2),()0,故(),B正确;对于C,由B的结论,()0,C错误;对于D,(2,2),则|2,|,D错误;故选:B【点评】本题考查向量数量积的计算,涉及向量的坐标计算,属于基础题3函数y2cos2(x)1是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式,求出周期,判定奇偶性【解答】解:由y2cos2(x)1cos(2x)sin2x,T,且ysin2x奇函数,即函数y2cos2(x)1是奇函数故选:A【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法,函数奇偶性的判断,是基础题4已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为()ABCD【分析】设出三角形的底角,表示出三角形的顶角,利用等腰三角形顶角的余弦值等于,即可求得结论【解答】解:设三角形底角为,则顶角为1802cos(1802)cos22sin21为三角形的内角sin故选:C【点评】本题考查二倍角的三角函数,考查学生的计算能力,属于基础题5设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosBasinA,则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosBsinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA1,可得A,由此可得ABC的形状【解答】解:ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bcosC+ccosBasinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosBsinAsinA,即 sin(B+C)sinAsinA,可得sinA1,故A,故三角形为直角三角形,故选:B【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题6在平面直角坐标系中,已知两点A(cos80,sin80),B(cos20,sin20),则|的值是()ABCD1【分析】根据向量模的坐标表示,把已知两个点的坐标代入,利用两角和与差的余弦公式进行化简,进而求出向量模【解答】解:A(cos80,sin80),B(cos20,sin20),|1故选:D【点评】本题考查了向量模的坐标运算,即把点的坐标代入,利用两角和与差的余弦公式进行化简求值7在边长为1的正方形ABCD中,向量,则向量,的夹角为()ABCD【分析】以A为坐标原点,以AB为x轴,以AD为x轴,建立直角坐标系,根据向量的夹角的公式计算即可【解答】解:设向量,的夹角为,以A为坐标原点,以AB为x轴,以AD为x轴,建立直角坐标系,A(0,0),B(1.0),C(1,1),D(0,1),向量,E(,1),F(1,),(,1),(1,),|,+,cos,故选:B【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式,属于中档题8已知zC,则“z2|z|2”是“z为纯虚数”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】由充分必要条件的判断方法,结合复数为纯虚数的条件判断即可【解答】解:对于复数z,若z2|z|2,z不一定为纯虚数,可以为0,充分性不成立,若z为纯虚数,设zbi(bR,且b0),z2b2,|z|2b2,z2|z|2,必要性成立,z2|z|2是z为纯虚数的必要非充分条件故选:B【点评】本题考查复数的基本概念,考查了充分必要条件的判断方法,是基础题9已知i为虚数单位,下列说法中正确的有()个(1)若复数z满足,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上;(2)若复数z满足z+|z|2+8i,则复数z15+8i;(3)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模;(4)复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|z1z2|,则A1B2C3D4【分析】由复数模的几何意义判断(1);设za+bi(a,bR),代入z+|z|2+8i,整理后利用复数相等的条件判断(2);由复数模的概念即可判断(3);把已知等式两边平方,求得,从而得到判断(4)【解答】解:(1)若复数z满足,则复数z対应的点在以(0,1)为圆心,为半径的圆上,故(1)错误;(2)设za+bi(a,bR),由z+|z|2+8i,得,解得a15,b8,z15+8i,故B错误;(3)由的长度叫做复数za+bi的模,可知复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模,故(3)正确;(4)复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|z1z2|,则,两边平方可得,故(4)正确说法正确的有2个故选:B【点评】本题考查复数的模,复数的代数表示法及其几何意义,是基础题10在ABC中,a,b分别为内角A,B所对的边,b5,B30,若ABC有两解,则a的取值范围是()A(2,5)B(5,10)C(2,2)D(2,10)【分析】由三角形的有两个解的条件可得a,b的关系,进而求出a的范围【解答】解:因为三角形有两个解,所以满足ba,所以5a10,故选:B【点评】本题考查三角形的解的情况,属于基础题二、填空题11(1)设复数(其中i为虚数单位),则z的虚部是 (1)1(2)已知复数z满足|z|1,则|z3i|的取值范围为 2,4(其中i为虚数单位)【分析】(1)直接利用复数代数形式的乘除运算化简z,再得到z的虚部;(2)由已知可得z在复平面内对应点的轨迹,再由|z3i|的几何意义,即单位圆上的点到点(0,3)的距离求解即可【解答】解:(1),z的虚部为1;(2)由|z|1,可得z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以1为半径的圆上,|z3i|的几何意义为圆上的点到点(0,3)的距离,则最小值为312,最大值为3+14|z3i|的取值范围为2,4故答案为:(1)1;(2)2,4【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念,复数的代数表示法及其几何意义,是基础题12在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC,且
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