新教材高二第二学期联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷答题卡规定的地方填写自己的准考证号姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号姓名”与考生本人准考证号姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.5人排成一行，其中甲乙两人相邻的不同排法共有（ ）A.24种 B.48种 C.72种 D.120种2.在的展开式中，含的项的系数是（ ）A.5 B.6 C.7 D.113.某铁球在时，半径为.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（ ）A.0 B. C. D.4.三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.5.关于函数，有下列四个命题：甲：在单调递增；乙：是的一个极小值点；丙：是的一个极大值点；丁：函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称.其中只有一个是假命题，则该命题是（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，则曲线在处的切线方程是（ ）A. B.C. D.7.圆为锐角的外接圆，点在圆上，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.8.已知为双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与在第一象限的交点为，直线与交于另一点.若的面积为，则的离心率为（ ）A.2 B. C. D.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A.函数是奇函数B.函数的极大值点等于函数的极小值点C.若曲线上共线的三点满足，则点的坐标为D.函数的值域为的一个必要不充分条件是11.已知动圆，则（ ）A.圆与圆相切B.圆与直线相切C.圆上一点满足，则的轨迹的长度为D.当圆与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为112.已知实数满足，则（ ）A. B.C. D.三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量_.14.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，线段中点的纵坐标为，则_.15.分形几何在计算机生成图形和游戏中有广泛应用.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.设图2中第行黑圈的个数为，则_，数列的通项公式_.16.半径为的球的球心为一个正四面体的中心，且球的球面被的四个面截得的曲线总长度为，则四面体的体积为_.四解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在中，已知边上的两条中线，相交于点.（1）求的正弦值；（2）求的余弦值.18.（12分）数列的前项和为且当时，成等差数列.（1）计算，猜想数列的通项公式并加以证明；（2）在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.19.（12分）如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3.（1）求证：平面平面；（2）若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.20.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求证：当时，.21.（12分）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为为坐标原点，线段的中点为是等腰三角形.（1）求的方程；（2）设点，圆过且交直线于，直线分别交于另一点（异于点），直线过且与直线平行，判断直线与圆的位置关系并证明你的结论.22.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恰有3个零点；（i）求的取值范围；（ii）证明：在双曲线位于第一象限内的图象上存在点，使得对于任意实数，都有.高二数学参考答案一选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分40分.1.B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.D 7.C 8.D8.提示：由，结合定义可知，所以是等腰三角形，利用余弦定理即可求得结论.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.AD 10.ABC 11.AD 12.BCD12.提示：由得，由图易知，由得，从而，所以，所以，所以，正确；而当时，易知错误；对于，由得，所以，易证，故，所以正确.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（与共线的非零向量均可） 14. 15.； 16.或15.记第行白圈的个数为，由题意可得则，所以，所以，由得，所以，即，故，故答案为：16.解：设四面体的棱长为，小圆半径为.若的一个面截球如图（1）所示，则小圆周长为，半径为1，所以球心到四面体的面的距离为，所以；若的一个面截球如图（2）所示，图（2）记为中点，由题意知，又又，所以所以，解得；所以四面体的体积为或.四解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.解法一：由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，与互补，则，解得，在中，由余弦定理，得，因为，所以.（2）在中，由余弦定理，得，所以，由分别为边上的中线可知为重心，可得，在中，由余弦定理，得，又由，所以.解法二：（1）由题意可得，由为边上的中线，则，两边同时平方得，故，因为为边中点，则的面积为面积的，所以，即，化简得，.（2）因为为边上的中线，所以，.，即.所以.18.解：（1）当时，因为成等差数列，所以，即，即，即.所以，猜想.下面我们证明.因为，所以，又因为当时，所以，对任意正整数，均有，所以，所以，所以，即数列的通项公式为.（2）依题意，因为，所以.假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，即，化简得，又因为成等差数列，所以，所以，化简得，又，所以，即，所以，所以，这与题设矛盾，所以假设不成立，所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.19.解：（1）取中点，连接，因为，所以，且，因为是等腰直角三角形，所以，且，又，满足，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，且，故可以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为点为棱的中点，所以到平面的距离为；则，则，设，则可得，则，则，所以，所以，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，则，由，得，或（舍去），此时.故存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为，此时的长为120.解法一：（1）依题意，的定义域为，当时，在单调递减；当时，当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增；.当时，当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减；综上，当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）当时，要证明，即证明，因为，所以只需证明，只需证明.设，则，设，则，所以当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增；所以，所以当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增；所以，所以当时，.解法二：（1）同解法一.（2）当时，要证明，即证明，因为，所以只需证明，只需证明，只需证明.设，则，所以当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增；所以，所以，即，所以当时，.21.解：（1）如图1，依题意，所以，若，则，即，所以的方程为；若，则，即，所以的方程为；若，则，即，即，所以，所以的方程为；综上，的方程为；（2）直线与圆相切.如图2，由（1）知，的方程为，设，依题意，圆的方程为，令，则，所以，设直线，则由得，所以，由三点共线得，即，同理，由三点共线可得，所以，所以，即，即，即，即，所以或，当时，直线过，不合题意，所以，此时，所以，即，所以当时，直线，所以，所以，直线与圆相切；当时，直线的斜率，直线的斜率为，所以，所以，所以，直线与圆相切；综上，直线与圆相切.22.解：（1），当时，所以在单调递减；当时，当时，；当时，；所以，当时，所以在单调递减；当时，当时，当时，；所以在单调递减，在单调递增；综上，当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当时，在单调递减，所以至多一个零点，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.又因为，所以，当时，当时，所以在不存在零点，由于在单调递减，所以在至多一个零点，因此至多一个零点，不符合题意；当时，当时，所以在恰有1个零点，由于在单调递减，所以在至多一个零点，因此至多两个零点，不符合题意；当时，所以，又因为在单调递增，所以在恰有一个零点；时，所以又因为在单调递减，所以在恰有一个零点；时，设，则，当时，所以在单调递增，所以，即所以，所以，又因为在单调递减，所以在恰有一个零点；所以恰有3个零点，符合题意，所以的取值范围为.（ii）证明：由（i）知且在有2个零点，设其中一个零点为，取，则且，即点是双曲线位于第一象限内的图象上一点，此时，因为是在的零点，所以，所以，所以对于任意实数成立，所以在双曲线位于第一