第二章 一元二次方程6 应用一元二次方程第1课时一、教学目标1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题.2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程.3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的般步骤.4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力.二、教学重难点重点：利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题.难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型解决问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一 知识回顾【复习回顾】教师活动：学生已学过列一元一次方程解应用题，通过想一想环节让学生说出列方程解应用题的一般步骤，再选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入新课的学习.想一想：列方程解应用题的一般步骤是什么？预设：审：审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；设：设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；列：根据题中的等量关系列方程；解：求出所列方程的解；验：“检验”，即验证是否符合题意；答：回答题目中要解决的问题.【情境导入】你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？原题：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？(1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 预设：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米. (8-x)2+(6+x)2 =102. x2-2x = 0.x1= 0(舍)，x2 = 2.因此，梯子底端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.(2) 如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？预设：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.(12-x)2+(5+x)2 =132.x2-7x = 0.x1= 0(舍)，x2= 7.因此，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等为7m.思考并举手回答.尝试列方程，独立解决复习回顾已学知识，并为新课的学习做准备.选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入用一元二次方程解决实际问题的内容.环节二 典例探究【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标C.小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 中点.一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于点E，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile）分析：(1)要求 DE 的长，需要如何设未知数？预设：一般求什么设什么，可设DE的长为x n mile.(2)怎样建立含 DE 未知数的等量关系？预设：根据已知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系.(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？预设：连接DF，由三角形中位线得ABDF，从而DFEF，构造出RtDEF.(4)构造出RtDEF 后，三条边长DE，DF，EF 分别是多少？ 预设：DF=100 n mile，DE=x n mile，EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x) n mile. 解：连接 DF.AD = CD，BF = CF，DF 是ABC 的中位线.DFAB，且 DF =12AB.ABBC，AB=BC= 200 n mile，DFBC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile.设相遇时补给船航行了 x n mile，那么DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile，EF = AB + BF -(AB + BE)=(300-2x) n mile.在RtDEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300-2x)2，整理，得 3x2 -1200x + 100 000 = 0.解这个方程，得 x1=200-10063118.4,x2=200+10063(不合题意）.所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile.例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm， BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？分析：设t秒后五边形APQCD的面积为64cm2，则AP=t cm，BQ=2t cm，所以PB=(6-t)cm由S五边形APQCD =S矩形ABCD- SPBQ，可得：64 = 612 - 2t(6-t) 2.从而求得满足条件的解即可.解：设t秒后五边形APQCD的面积为64cm2，根据题意，得 64=612-2t(6-t) 2 整理得 t2- 6t+8 = 0.解方程，得 t1= 2 ， t2 =4 .因此，在第2秒和第4秒时五边形的面积都是 64cm2. 明确例题的做法尝试用式子表示边的关系，并找到等量关系在例题的教学中，引导学生关注列方程解应用题的三个重要环节：其一是整体地、系统地弄懂题意；其二是把握问题中的等量关系；其三是正确求解方程并检验解的合理性.环节三 总结归纳【方法归纳】通过上述两个例题，让学生先独立思考，然后再小组交流探讨，列一元二次方程解实际问题的一般步骤. 想一想：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？注意： 在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.独立思考，交流讨论明确列一元二次方程解决实际问题的步骤，培养学生的总结概括能力.环节四 巩固练习教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3.乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？2.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 3.如图：在 RtACB 中，C = 90，点 P、Q 同时由A、B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后PCQ 的面积为RtACB 面积的一半？4.如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78 m2，上口比渠底宽 0.6 m，渠深比渠底少 0.4 m，求渠深.答案：1.解：如图所示，甲、乙二人同时从点O出发，在点B处相遇.设甲乙两人走的时间为x，则甲走的路程为3x，乙走的路程为7x，依题意得：102+(3x)2=(7x-10)2解得：x172，x20(舍去)所以，相遇时，甲走了10.5步，乙走了24.5步.2.解: 设较多的钱为 x，则较少的为20-x.由题意，可得 x(20- x)96，解得 x112，x28 (舍去)所以，赛义德得到的钱数为12.3.解: 设经过 t s，PCQ 面积为 RtACB 面积的一半根据题意，得 12(8t)(6t)126812 ，解方程，得 t12，t212 (舍去)所以，2s后PCQ面积为RtACB面积的一半4.解：设渠深为 x m，则渠底为 (x0.4) mS 12(x0.40.6x0.4)x 0.78，解得 x11.3(舍去)，x20.6所以，渠深 0.6 m自主完成练习，然后集体交流评价.通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.环节五 课堂小结思维导图的形式呈现本节课的主要内容：学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.环节六布置作业教科书第55页 习题2.9 第4题.学生课后自主完成.加深认识，深化提高.