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年寒窗苦读日,只盼金榜题名时,祝你考试拿高分,鲤鱼跳龙门!加油!2019上海考研数学二真题及答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、当时,若与 是 同阶无穷小量,则( )、 . 、. 、 . 、 .【答案】.【解析】因为 ,所以,选 .2、曲线的拐点是( )、 . 、 . 、 . 、.【答案】.【解析】,令 ,解得或。当时,;当时,所以是拐点。故选 .3、下列反常积分发散的是( )、. 、 . 、 . 、.【答案】.【解析】、,收敛;、,收敛;、,收敛;、,发散,故选。4、已知微分方程的通解为,则依次为( ) 、 . 、 . 、. 、.【答案】D.【解析】 由题设可知是特征方程的二重根,即特征方程为,所以。又知是方程的特解,代入方程的。故选。5、已知积分区域,则( )、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】比较积分的大小,当积分区域一致时,比较被积函数的大小即可解决问题。由 ,可得 【画图发现包含在圆的内部】,令,则 ,于是有 ,从而。令,则,。在内单调减少,在单调增加,又因为,故在内,即,从而。综上,选。6、设函数的二阶导数在处连续,则是两条曲线,在对应的点处相切及曲率相等的( )、充分非必要条件. 、充分必要条件. 、必要非充分条件. 、既非充分也非必要条件.【答案】.【解析】充分性:利用洛必达法则,由可得 及,进而推出 ,。由此可知两曲线在处有相同切线,且由曲率公式可知曲线在处曲率也相等,充分性得证。必要性:由曲线,在处相切,可得,;由曲率相等,可知或。当时,所求极限,而未必等于0,因此必要性不一定成立。故选。7、设是4阶矩阵,为的伴随矩阵,若线性方程组的基础解系中只有2个向量,则( )。、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】因为方程组的基础解系中只有2个向量,所以,从而,则0,故选 。8、设是3阶实对称矩阵,是3阶单位矩阵,若,且,则二次型的规范型为( )、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】设是的特征值,根据得,解得或;又因为,所以的特征值为1,-2,-2,根据惯性定理,的规范型为。故选。二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、.【答案】。【解析】.10、曲线在对应点处的切线在轴上的截距为 。【答案】.【解析】斜率 ,切线方程为 ,截距为。11、设函数可导,则 。【答案】.【解析】,12、曲线的弧长为 【答案】【解析】13、已知函数,则 【答案】【解析】设,则 .14、已知矩阵,表示元素的代数余子式,则 【答案】.【解析】由行列式展开定理得三、解答题:1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)已知函数,求,并求函数的极值【解析】当时,;当时, ; ,即在处不可导综合上述:;令得驻点;是函数的不可导点。当时,;当时,;当时,;当时,;故是函数的极小值点,极小值为;是函数的极小值点,极小值为;函数在处连续且有极大值16、(本题满分10分)求不定积分【解析】设 (1)两边同乘以且令,可得;(2)两边同乘以且令,可得;(3)两边分别令,可得;解得。则 ,于是。17、(本题满分10分)设函数是微分方程满足条件的特解(1)求的表达式;(2)设平面区域,求绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积【解析】(1)方程为一阶线性非齐次微分方程由通解公式可得,把初始条件代入,得,从而得到 (2)旋转体的体积为18、(本题满分10分)设平面区域,计算二重积分【解析】显然积分区域关于轴对称,由对称性可得 ;将化为极坐标,有 ,于是.19、(本题满分10分)设是正整数,记为曲线与轴所形成图形的面积,求,并求【解析】当时,;当时,故曲线与轴之间图形的面积应表示为 ,先计算, 作变量替换 ,于是有 .所以 ,因此 。20、(本题满分11分)已知函数满足关系式求的值,使得在变换之下,上述等式可化为函数的不含一阶偏导数的等式【解析】在变换之下, ,;把上述式子代入关系式,得到根据要求,显然当时,可化为函数的不含一阶偏导数的等式21、(本题满分11分)已知函数在上具有二阶导数,且,证明:(1)至少存在一点,使得;(2)至少存在一点,使得证明:(1)令,则,则由于在连续,则在上可导,且,则由拉格朗日中值定理,至少存在一点,使得,即;又因为,对在上用罗尔定理 ,则至少存在一点,使得;(2)令,显然 在具有二阶导数,且对分别在上用拉格朗日中值定理,至少存在一点,使得;至少存在一点,使得;对在上用拉格朗日中值定理,则至少存在一点,使得,又因为,故22(本题满分11分)已知向量组:;向量组:若向量组和向量组等价,求常数的值,并将用线性表示【解析】向量组和向量组等价的充分必要条件是(1)当时,显然, ,两个向量组等价此时,方程组的通解为,也就是,其中为任意常数;(2)当时,继续进行初等行变换如下:显然,当且时,同时,也就是,两个向量组等价这时,可由线性表示,表示法唯一:(3)当时,,此时两个向量组不等价.综上所述,综上所述,当向量组和向量组等价时,。23、(本题满分11分)已知矩阵 与 相似,(I)求;(II)求可逆矩阵,使得 .【解析】(I)由于与相似,根据矩阵相似必要条件,有 ,即,解得 。(II)矩阵是上三角矩阵,易得的特征值为。又因为与相似,所以的特征值也是。对于矩阵:解方程组,可得属于特征值的线性无关的特征向量为:,对于矩阵:解方程组,可得属于特征值的线性无关的特征向量为:,令, ,则有, 即 ,令 ,则有 ,证毕。
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