2022年湖南省益阳市南县厂窖镇厂窖中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）A. B. C. D. 参考答案：B试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选B考点：几何概型2. 在中，角的对边长分别为，若，则的形状为A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形参考答案：B 3. =（）AtanxBsinxCcosxD参考答案：D【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解： =sinxcosx+=，故选：D【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题4. 过点（，）且被圆C：x2+y22x4y=0截得的最短弦的弦长为（）A3BCD参考答案：B5. 已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本标准差为( )参考答案：B略6. 命题p：偶函数一定没有反函数；命题q：函数y = x +的单调递减区间是 1，0 )( 0，1 )。则下列四个判断中正确的是（ ）（A）p真q真 （B）p真q假 （C）p假q真 （D）p假q假参考答案：B7. 已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=axax+2（a0，且a1），若g（2）=a，则f（2）=（）A2BCDxR|2x2参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据条件构造关于g（2）和f（2）的方程组来求解【解答】解：因为f（x）+g（x）=axax+2，所以，因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以，上述方程组中两式相加得：2g（2）=4，即g（2）=2，因为g（2）=a，所以a=2，将g（2）=2，a=2代入方程组中任意一个可求得f（2）=，故选C8. 由小到大排列的一组数据，其中每个数据都小于1，那么对于样本1，的中位数可以表示为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】根据不等式的基本性质，对样本数据按从小到大排列为，取中间的平均数.【详解】， ，则该组样本的中位数为中间两数的平均数，即.【点睛】考查基本不等式性质运用和中位数的定义.9. 复数=（ ）A.i B.i C.1+ i D.1i 参考答案：A.10. 已知函数f（x）=log0.5（x2ax+3a）在2，+）单调递减，则a的取值范围（）A（，4B4，+）C4，4D（4，4参考答案：D【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】令g（x）=x2ax+3a，则函数g（x）在区间2，+）内单调递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求a的取值范围【解答】解：令g（x）=x2ax+3a，f（x）=log0.5（x2ax+3a）在2，+）单调递减函数g（x）在区间2，+）内单调递增，且恒大于0a2且g（2）0a4且4+a04a4故选D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 幂函数在时为减函数则= 。参考答案：2略12. 在下列图形中，小黑点的个数构成一个数列的前3项.（1）= ；（2）数列的一个通项公式= .参考答案：(1) 13 ；(2) 13. 函数的定义域是 参考答案：（5，614. 如果函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是_参考答案：略15. 函数（且）的图象恒过点 。参考答案：(0,2)16. 一个样本由a，3，5，b构成，且a，b是方程x28x+5=0的两根，则该样本的平均值是 参考答案：4【考点】众数、中位数、平均数【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】由韦达定理得a+b=8，由此能求出该样本的平均值【解答】解：一个样本由a，3，5，b构成，且a，b是方程x28x+5=0的两根，a+b=8，该样本的平均值=（a+3+5+b）=故答案为：4【点评】本题考查样本的平均值的求法，是基础题，解题时要认真审题，韦达定理的合理运用17. 设，则a，b，c的大小关系（由小到大排列）为 参考答案：acb三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）在单位圆O上，xOA=，且（，）（1）若cos（+）=，求x1的值；（2）若B（x2，y2）也是单位圆O上的点，且AOB=过点A、B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记AOC的面积为S1，BOD的面积为S2设f（）=S1+S2，求函数f（）的最大值参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义【专题】三角函数的求值【分析】（1）由三角函数的定义有x1=cos，求得，根据，利用两角差的余弦公式计算求得结果（2）求得得，S2=可得，化简为sin（2）再根据 2的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（）取得最大值【解答】解：（1）由三角函数的定义有x1=cos，cos（+）=，（，），=（2）由y1=sin，得由定义得，又 由（，），得+（，），于是， =sin（2）再根据 2（，），可得当2=，即=时，函数f（）取得最大值【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题19. 在ABC中，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为.（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程.参考答案：（1）（2）【分析】（1）由AC边上的高BE所在的直线方程可得kAC利用点斜式可得AC方程,与CM方程联立解得C坐标（2）设B点坐标，可得中点M坐标代入CM方程，与BE方程联立，可得点B坐标，利用点斜式即可得出所求直线方程【详解】（1）边上的高为，故的斜率为， 所以的方程为，即， 因为的方程为 解得所以.（2）设，为中点，则的坐标为， 解得， 所以， 又因为，所以的方程为即的方程为.【点睛】本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题20. 已知奇函数的定义域为.(1)求实数a，b的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若实数m满足，求m的取值范围.参考答案：(1)；(2) 在递增，证明见解析；(3) .【分析】(1)根据奇函数定义域关于原点对称且求解即可.(2)设,且再计算的正负即可判断单调性.(3)根据奇函数将化简成,再根据函数的单调性求解,同时注意定义域即可.【详解】（1）是奇函数,得,定义域关于原点对称,故.（2）在递增证明：设,且则来源:Z|xx|k.Com,又,即在递增；（3）由题意可得等价于,得.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性单调性的定义判断方法,同时也考查了奇偶性与单调性求解抽象函数的表达式等.属于中等题型.21. 已知函数g（x）=ax22ax+1+b（a0，b1），在区间2，3上有最大值4，最小值1，设f（x）=（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）k?2x0在x1，1上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x1|）+k（3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系【分析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a与0的大小讨论，列出方程，即可求a，b的值；（2）转化不等式f（2x）k?2x0，为k在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x1，1上恒成立，求出最值，即可求实数k的取值范围；（3）化简方程f（|2x1|）+k（3）=0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k的取值范围【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（x）=a（x1）2+1+ba，当a0时，g（x）在2，3上为增函数，故，可得 ，?当a0时，g（x）在2，3上为减函数故 可得 可得 ，b1a=1，b=0即g（x）=x22x+1f（x）=x+2（2）方程f（2x）k?2x0化为2x+2k?2x，k1+令=t，kt22t+1，x1，1，t，记（t）=t22t+1，（t）min=0，k0（3）由f（|2x1|）+k（3）=0得|2x1|+（2+3k）=0，|2x1|2（2+3k）|2x1|+（1+2k）=0，|2x1|0，令|2x1|=t，则方程化为t2（2+3k）t+（1+2k）=0（t0），方程|2x1|+（2+3k）=0有三个不同的实数解，由t=|2x1|的图象（如右图）知，t2（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0t11t2或0t11，t2=1，记（t）=t2（2+3k）t+（1+2k），则或k022. 若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列an的前n项和，则称an是“回归数列”.（1）前n项和为的数列an是否是“回归数列”?并请说明理由；通项公式为的数列bn是否是“回归数列”?并请说明理由；（2）设an是等差数列，首项，公差，若an是“回归数列”，求d的值；（3）是否对任意的等差数列an，总存在两个“回归数列” bn和cn，使得成立，请给出你的结论，并说明理由.参考答案：（1）是；是；（2）1；（3）见解析.【分析】（1）利用公式和 ，求出数列的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；求出数列的前项和，按照回归数列的定义进行判断；（2）求出的前项和，根据是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出的值；（3）等差数列的公差为，构造数列，可证明、是等差数列，再利用等差数列前项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.【详解】（1）当时，当时，当时，所以数列是“回归数列”；因为，所以前n项和，根据题