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河北省唐山市遵化铁场镇中学2022年高三数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知向量(A) (B) (C) (D)参考答案:B2. 已知双曲线C1:=1(a0,b0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2,则抛物线C2的方程是()A Bx2=yCx2=8yDx2=16y参考答案:C略3. 已知函数f(x)=(2+x)23x,则f(1)为()A6B0C3D7参考答案:C【考点】63:导数的运算【分析】根据题意,由函数的解析式计算可得f(x)=2x+1,将x=1代入计算即可得答案【解答】解:根据题意,f(x)=(2+x)23x=x2+x+4,其导数f(x)=2x+1,则f(1)=3;故选:C4. 函数的部分图象如图所示,则此函数的解析式为( )(A) (B)(C) (D)参考答案:A5. 若,则的值为( ) A80 B40 C20 D10参考答案:A6. 设集合A=1,2,3,B=4,5,M=x|x=a+b,aA,bB,集合M真子集的个数为()A32B31C16D15参考答案:D【考点】子集与真子集【专题】定义法;集合【分析】由题意,aA,bB,可以把a,b的组合列出来,然后就算a+b的值,根据互异性可得集合M,集合中有n个元素,有(2n1)个真子集可得答案【解答】解:由题意集合A=1,2,3,B=4,5,aA,bB,那么:a、b的组合有:(1、4),(1、5),(2、4),(2、5),(3、4),(3、5),M=x|x=a+b,M=5,6,7,8,集合M中有4个元素,有241=15个真子集故选:D【点评】本题考查了集合的运算及集合的子集个数,若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集,有(2n1)个真子集,属于基础题7. 已知集合,,则( )A. (1,2B. 2,4)C.1,+)D. (1,+)参考答案:D【分析】分别求出集合、的值,由补集和并集的概念可得的值,可得答案.【详解】解:依题意,,,故,故,故选:D.【点睛】本题主要考查集合交并补运算,属于基础题型,注意运算准确.8. 设等比数列的公比为,其前项之积为,并且满足条件:给出下列结论:(1);(2)(3)的值是中最大的(4)使成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为A.(1),(3) B.(2),(3) C. (1),(4) D. (2),(4)参考答案:C:【考点】:等比数列性质由可知:或如果,那么,若,则;,又因为,所以应与异号,即,这假设矛盾,所以若,则且,与退出的结论矛盾,所以,故(1)正确,故(2)错误由结论(1)可知,所以数列从2016项开始小于1,所以最大故(3)错误由结论(1)可知数列从2016项开始小于1,而,所以当时,求得对应的自然数为4030,故(4)正确【点评】:本题难度中等,解题的关键是熟练等比数列的性质9. 已知正数组成的等比数列 ,若 ,那么 的最小值为 A.20 B25 C. 50 D不存在参考答案:A10. 若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义在上的函数满足,当,,则函数的在上的零点个数是 参考答案:60512. 已知集合A=2,0,B=2,3,则AB= 参考答案:2,0,3【考点】并集及其运算【分析】利用并集定义直接求解【解答】解:集合A=2,0,B=2,3,AB=2,0,3故答案为:2,0,3【点评】本题考查并集的求法,是基础题,解题时要 认真审题,注意并集定义的合理运用13. 设函数,将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于_.参考答案:614. 一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球(9个球除颜色外其余完全相同),经充分混合后,从袋中随机摸出3球,则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为 参考答案:略15. 已知集合,则 .参考答案:.16. 设则f(f(-2)=_参考答案:-2本题考查了指数、对数以及分段函数的计算问题,难度一般, 因为,所以17. 设函数是定义在上的周期为2的偶函数,当时,则=_. 参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘成折线图如下:()已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数;()若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选到的男生人数为X,求随机变量X的分布列;()试比较男生学习时间的方差S12与女生学习时间方差S22的大小(只需写出结论)参考答案:【考点】离散型随机变量的期望与方差;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差;离散型随机变量及其分布列【分析】()根据题意,由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时,进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数;()学习时间不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X的取值为0,1,2,3,4;由古典概型公式计算可得X=0,1,2,3,4的概率,进而可得随机变量X的分布列;()根据题意,分析折线图,求出男生、女生的学习时间方差,比较可得答案【解答】解:()根据题意,由折线图可得12名男生中有8名每天学习不足4小时,8名女生中有4名每天学习不足4小时,即20名学生中有12名学生每天学习不足4小时,每天学习不足4小时的人数为:人()学习时间不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X的取值为0,1,2,3,4由题意可得; ; ;所以随机变量X的分布列为X01234P随机变量X的均值()根据题意,对于男生,学习时间1小时的有1人,学习时间2小时的有4人,学习时间3小时的有3人,学习时间4小时的有2人,学习时间5小时的有2人,其平均数=(11+24+33+42+52)=3,其方差= (13)2+4(23)2+3(33)2+2(43)2+2(53)2=1.5;对于女生,学习时间2小时的有1人,学习时间3小时的有3人,学习时间4小时的有3人,学习时间5小时的有1人,其平均数=(12+33+43+51)=3.5,其方差= (23.5)2+3(33.5)2+3(43.5)2+(53.5)2=0.75;比较可得19. 设n为给定的大于2的正整数,集合,已知数列:,满足条件:当时,;当时,.如果对于,有,则称为数列的一个逆序对.记数列的所有逆序对的个数为.(1)若,写出所有可能的数列;(2)若,求数列的个数;(3)对于满足条件的一切数列,求所有的算术平均值.参考答案:(1)不同的分别为:;(2);(3).【分析】(1)根据可列出满足条件的.(2)就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的的个数.(3)引进一个定义:,有,则称为数列的一个顺序对,可证明所有的中,逆序对的总数和顺序对的总数相等,从而可得逆序对的个数为,故可求其平均值.【详解】(1)因为, 故只有一个逆序对,则不同的分别为:.(2)因为,故数列:,有两种情况:2对逆序数由3个元素提供,即,这样的共有个.2对逆序数由4个元素提供,即.这样的共有.综上,满足的数列的个数为.(3)对任意的:,其逆序对的个数为,我们引进一个定义:,有,则称为数列的一个顺序对,则中的顺序对个数为.考虑:,与:,中的逆序对的个数为中顺序对的个数,中顺序对的个数为中逆序对个数,把所有的按如上形式两两分类,则可得所有的中,逆序对的总数和顺序对的总数相等,而它们的和为,故逆序对的个数为,所以所有的算术平均值为.【点睛】本题考查排列中的新定义问题,注意根据逆序对的定义得到全排列的特征,计算所有全排列的逆序对的总数时,应构造顺序对来证明两者的总数相等,本题为难题.20. (2017?莆田一模)已知曲线E: =1(ab,a1)上两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)(1)若点A,B均在直线y=2x+1上,且线段AB中点的横坐标为,求a的值;(2)记,若为坐标原点,试探求OAB的面积是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由参考答案:【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】(1)利用点差法求得直线的斜率公式,k=2,根据中点坐标公式,即可求得a的值;(2)设直线y=kx+m代入椭圆方程,利用韦达定理及由向量数量积的坐标运算,根据弦长公式,点到直线的距离公式,根据三角的面积公式即可求得OAB的面积为定值【解答】解:(1)由题意可知:,两式相减得: +(y1+y2)(y1y2)=0,由x1x2,则=a2,由A,B在直线y=2x+1,则k=2,A,B中点横坐标为,则中点的纵坐标为,=2?,解得:a2=,又a0,则a=,(2)直线AB的方程为y=kx+m,则,(1+a2k2)x2+2kma2x+a2(m21)=0,0,即(2kma2)24a2(m21)(1+a2k2)0,则m21+a2k2,由韦达定理可知:则x1+x2=,x1x2=,由mn,则?=0,x1x2+a2y1y2=0,从而(1+a2k2)x1x2+kma2(x1+x2)+a2m2=0,代入并整理得2m2=1+a2k2,由原点O到直线AB的距离d=,则OAB的面积S=?d?丨AB丨=?丨x1x2丨,=丨m丨?,=丨m丨?,=?,=?=,从而可得OAB的面积,为定值【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查直线与椭圆位置关系,考查韦达定理,弦长公式,点到直线的距离公式,考查向量的坐标运算,考查计算能力,属于中档题21. 为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人)高校相关人数抽取人数A18xB362C54y
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