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河南省郑州市第一百零六中学2022年高三数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知锐角的终边上一点P(sin40,1+cos40),则等于( )A10B20C70D80参考答案:C考点:任意角的三角函数的定义 专题:计算题;三角函数的求值分析:由题意求出PO的斜率,利用二倍角公式化简,通过角为锐角求出角的大小即可解答:解:由题意可知sin400,1+cos400,点P在第一象限,OP的斜率tan=cot20=tan70,由为锐角,可知为70故选C点评:本题考查直线的斜率公式的应用,三角函数的化简求值,考查计算能力2. 将函数f(x)3sin(4x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数的图象则图象的一条对称轴是Ax Bx Cx Dx参考答案:C3. 一束光线从点出发经轴反射到圆C:上的最短路程是 ( )A. 4 B. C. 5 D. 参考答案:A略4. 已知a、b,c直线,是平面,给出下列命题:若,则;若.,则;若,则;若a与6异面,且,则b与相交;若a与b异面,则至多有条直线与a,b都垂直.其中真命题的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D.4参考答案:A略5. 一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为,第二次向上的点数记为,在直角坐标系中,以为坐标的点落在直线上的概率为 ( ) A B C D参考答案:B略6. 设全集( ) A. B. C. D.参考答案:D略7. 参考答案:D.8. 若方程表示双曲线,则实数k的取值范围是()Ak1B1k3Ck3Dk1或k3参考答案:B考点:双曲线的标准方程专题:计算题;分类讨论;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:讨论双曲线的焦点位置,得到不等式,分别解出它们,再求并即可解答:解:若方程=1表示焦点在x轴上的双曲线,则3k0,且k10,解得1k3;若方程=1表示焦点在y轴上的双曲线,则3k0,且k10,解得k?综上可得,1k3故选B点评:本题考查双曲线的方程和性质,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于基础题9. 已知直线与圆相交于两点,且,则 参考答案:略10. 函数的反函数是 ( ) A B C D参考答案:D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数z满足(i为虚数单位),则 .参考答案:试题分析:因为,所以,也可利用复数模的性质求解:考点:复数的模12. 已知数列an中,a1=a,an+1=3an+8n+6,若an)为递增数列,则实数a的取值范围为参考答案:(7,+)【考点】8H:数列递推式【分析】an+1=3an+8n+6,a1=a,可得:n=1时,a2=3a+14n2时,an=3an1+8n2,相减可得:an+1an+4=3(anan1+4),a=9时,可得an+1an+4=0,数列an是单调递减数列,舍去由数列an+1an+4是等比数列,首项为2a+18,公比为3利用“累加求和”方法可得an,根据an)为递增数列,因此?nN*,an+1an都成立解出即可得出【解答】解:an+1=3an+8n+6,a1=a,n=1时,a2=3a1+14=3a+14n2时,an=3an1+8n2,相减可得:an+1an=3an3an1+8,变形为:an+1an+4=3(anan1+4),a=9时,可得an+1an+4=0,则an+1an=4,是单调递减数列,舍去数列an+1an+4是等比数列,首项为2a+18,公比为3an+1an+4=(2a+18)3n1an+1an=(2a+18)3n14an=(anan1)+(an1an2)+(a2a1)+a1=(2a+18)(3n2+3n3+3+1)4(n1)+a=(2a+18)4n+4+a=(a+9)(3n11)4n+4+aan)为递增数列,?nN*,an+1an都成立(a+9)(3n1)4(n+1)+4+a(a+9)(3n11)4n+4+a化为:a9,数列单调递减,n=1时取得最大值2a29=7即a7故答案为:(7,+)【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题13. 圆心在曲线上,且与直线相切的面积最小的圆的方程是_.参考答案:14. 若向量满足 ,则 .参考答案:015. 一个空间几何体的三视图如下右图所示,其中主视图和侧视图都是半径为的圆,且这个几何体是实心球体的一部分,则这个几何体的表面积为 .参考答案:416. 椭圆 若直线则该椭圆的离心率等于 .参考答案:-117. 在直角三角形中,点是斜边上的一个三等分点,则_.参考答案:4三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)已知幂函数为偶函数,且在区间上是单调增函数(1)求函数的解析式;(2)设函数,其中.若函数仅在处有极值,求的取值范围.参考答案:【知识点】函数的概念与导数 B1,B11(1) (2) 解析:(1)在区间上是单调增函数,即又4分而时,不是偶函数,时,是偶函数,. 6分(2)显然不是方程的根.为使仅在处有极值,必须恒成立,8分即有,解不等式,得.11分这时,是唯一极值. . 12分【思路点拨】由幂函数的概念可求出函数,再利用导数求出a的取值范围.19. 已知点、和动点满足:, 且(I)求动点的轨迹的方程;(II)设过点的直线交曲线于、两点, 若的面积等于,求直线的方程.参考答案:解:(I)在中,由余弦定理得(1分)(4分),即动点的轨迹为以A、B为两焦点的椭圆.(5分)动点的轨迹的方程为:. (6分)(II)设直线的方程为由消得.()(7分)设、,则 (8分)(10分)解得,当时()方程的适合.故直线的方程为或(12分)20. 如图,在四棱锥中,底面,是直角梯形,是的中点。(1)求证:平面平面(2)若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值参考答案:()法一:几何方法证明:勾股定理ACBC,由已知得ACPC,证出AC平面PCB,得证.法二:建坐标系,用向量证.6分()直线PA与平面EAC所成角的正弦值.12分略21. (本小题满分13分)已知函数。()若,求函数的极值,并指出是极大值还是极小值;()若,求证:在区间上,函数的图像在函数的图像的下方。ks5u参考答案:(1)解 由于函数f(x)的定义域为(0,), 1分 当a1时,f(x)x 2分令f(x)0得x1或x1(舍去), 3分ks5u 当x(0,1)时,f(x)0,因此函数f(x)在(1,)上是单调递增的, 5分 则x1是f(x)极小值点,所以f(x)在x1处取得极小值为f(1)= 6 分 (2) 证明 设F(x)f(x)g(x)x2ln xx3, 则F(x)x2 x2, 9分 当x1时,F(x)0, 10分故f(x)在区间1,)上是单调递减的, 11分 又F(1)0,12分在区间1,)上,F(x)0恒成立即f(x)g(x)0 恒成立即f(x)g(x)恒成立. 因此,当a1时,在区间1,)上,函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方13分22. 三棱锥,底面为边长为的正三角形,平面平面,,为上一点,为底面三角形中心. ()求证面;()求证:;()设为中点,求二面角的余弦值.参考答案:证明:()连结交于点,连结.为正三角形的中心,,且为中点.又,, -2分平面,平面面 -4分(),且为中点, ,又平面平面,平面, -5分由()知,平面, -6分连结,则,又,平面, -8分()由()()知,两两互相垂直,且为中点,所以分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图,则-9分设平面的法向量为,则,令,则 -10分由()知平面,为平面的法向量,由图可知,二面角的余弦值为 -12分
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