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安徽省合肥市草庙中学2022年高一数学文上学期摸底试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知函数满足,则的最小值是( ) A 2 B C 3 D 4参考答案:B2. 在四面体中,分别是的中点,若,则与所成的角的度数为()A B C D参考答案:C3. 下列四个函数中,在区间上是减函数的是( )A. B. C. D. 参考答案:A4. 已知函数,其中为实数,若对恒成立,且,则的单调递增区间是( )A.B.C.D. 参考答案:C5. 如图阴影部分用二元一次不等式组表示为A BC D 参考答案:6. 已知数列an为等差数列,,=1,若,则( )A. ?22019B. 22020C. ?22017D. 22018参考答案:A【分析】根据等差数列的性质和函数的性质即可求出.【详解】由题知数列an为等差数列,an1(nN*),a1+a20191,a1+a2019a2+a2018a3+a2017a1009+a1011a1010=1,a1010f(a1)f(a2)f(a2019)41009(2)22019故选:A【点睛】本题考查了等差数列的性质和函数的性质,考查了运算能力和转化能力,属于中档题,注意:若an为等差数列,且m+n=p+q,则 ,性质的应用.7. 若函数与函数在区间上都是减函数,则实数的取值范围为 ( )A. B. C. D. 参考答案:D略8. 不等式的解集是( ) A. B. C. R D. 参考答案:A9. 九章算术中有如下问题:今有浦生一日,长三尺,莞生一日,长一尺,蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍,若蒲、莞长度相等,则所需时间为( ).(结果精确到0.1,参考数据: ,)A. 2.2天B. 2.4天C. 2.6天D. 2.8天参考答案:C【分析】设蒲的长度组成等比数列an,其a1=3,公比为,其前n项和为An;莞的长度组成等比数列bn,其b1=1,公比为2,其前n项和为Bn利用等比数列的前n项和公式及对数的运算性质即可得出【详解】设蒲的长度组成等比数列an,其a1=3,公比为,其前n项和为An,则An=.莞的长度组成等比数列bn,其b1=1,公比为2,其前n项和为Bn则Bn ,由题意可得:,整理得:2n+=7,解得2n=6,或2n=1(舍去)n=2.6估计2.6日蒲、莞长度相等.故选:C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题10. 已知集合M=0,1,2,N=2,3,则MN= ( ) A3 B2 C2,3 D0,1,2,3参考答案:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. =参考答案:【考点】对数的运算性质【分析】由对数的运算性质,把等价转化为,进一步简化为,由此能求出结果【解答】解:=故答案为:12. 已知函数y=sin()(0)是区间,上的增函数,则的取值范围是参考答案:(0,【考点】正弦函数的图象【分析】可以通过角的范围,得到(x+)的取值范围,直接推导的范围即可【解答】解:由于x,故(x+)+,+,函数f(x)=sin(x+)(0)在,上是增函数,0,故答案为:(0,【点评】本题考查三角函数的单调性的应用,函数的解析式的求法,考查计算能力13. 将化成()形式得_。参考答案:略14. 已知sin=,并且是第二象限角,则tan的值为参考答案:【考点】三角函数的化简求值【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得tan的值,再利用二倍角的正切公式求得tan的值【解答】解:sin=,并且是第二象限角,cosx=,tan=由2k+2k+,求得k+k+,故是第一或第三象限角,tan1再根据 tan=,求得tan= 或 tan=(舍去),故答案为:15. 若数列an满足a11,且an12an,nN*,则a6的值为 .参考答案:3216. 若,则x=_.参考答案:,【分析】根据特殊角的三角函数值求解三角方程【详解】因为【点睛】本题考查解简单三角方程,考查基本分析求解能力,属基础题17. 是等差数列的前n项和,若,则当时,取最大值.参考答案:13略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知向量,是同一平面内的三个向量,其中.()若,且,求向量的坐标;()若,且,求.参考答案:()令,则,得, 4分 ,或 6分(), 9分 12分(其他解法酌情给分)19. (本小题满分14分)一艘轮船在以每小时16km速度沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西80 km处,受影响的初始范围是以台风中心为圆心半径长为7km的圆形区域,并且圆形区域的半径正以以每小时10km的速度扩大,且圆形区域最大活动半径为47km已知港口位于台风中心正北60 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?假设轮船在航行过程中,不会受到台风的影响,则轮船离此时圆形区域边缘最近距离是多少?参考答案:(本小题满分14分)本题主要考查圆的几何性质,直线与圆的位置关系等知识的实际应用,考查解析几何的基本思想方法和综合应用能力,创新意识.【解】我们以台风中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示的直角坐标系 1分设台风活动半径r=7+10t(0t4),其中t为轮船移动时间。单位:小时,这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 3分轮船航线所在直线l的方程为 ,即 5分(i)如果圆与直线l有公共点,则轮船受影响,需要改变航向;如果圆与直线l无公共点,则轮船不受影响,无需改变航向由于圆心O(0,0)到直线l的距离 ,7分由题意知圆形区域最大半径为47公里” 4847 ,所以直线l与同心圆形区域始终无公共点这说明轮船将不受台风影响,不需要改变航向8分(ii)如图,设轮船航行起始点为A,轮船离原点最近点为H从A到H移动距离(公里)9分轮船移动时间(小时),10分此时受台风影响的圆形区域半径r=7+104= 47(公里), 恰好为圆形区域最大活动半径 12分由平面几何知识可知,此时最近距轮船离圆形区域边缘为d-r=48-47=1(公里)故轮船离圆形区域边缘最近距离为1公里. 14分略20. 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形, PA平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明:PB/平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离。参考答案:解:(1)设BD交AC于点O,连结EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB又EO平面AEC,PB平面AEC , 所以PB平面AEC.(2)由,可得.作交于。由题设知,所以。故,又 所以到平面的距离为.21. 已知ABC三个顶点是(1)求BC边上的垂直平分线的直线方程;(2)求ABC的面积参考答案:(1);(2)【分析】(1)由题意可得BC的中点和BC的斜率,由垂直关系可得垂直平分线的斜率,由点斜式可得方程,化为一般式即可;(2)由(1)得BC的方程,可得A到BC的距离,再求得BC的长度,代入三角形的面积公式可得答案【详解】(1),则所求直线的斜率为: 又的中点的坐标为,所以边的上的中垂线所在的直线方程为:;(2)直线的方程为:,则点到直线距离为:,.【点睛】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积,及点到直线的距离,属于基础题22. (12分)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足()?=0,求t的值参考答案:考点:平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用 专题:平面向量及应用分析:(1)(方法一)由题设知,则从而得:(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:由E是AC,BD的中点,易得D(1,4)从而得:BC=、AD=;(2)由题设知:=(2,1),由()?=0,得:(3+2t,5+t)?(2,1)=0,从而得:或者由,得:解答:(1)(方法一)由题设知,则所以故所求的两条对角线的长分别为、(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:E为B、C的中点,E(0,1)又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=;(2)由题设知:=(2,1),由()?=0,得:(3+2t,5+t)?(2,1)=0,从而5t=11,所以或者:,点评:本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查向量的坐标运算和基本的求解能力
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