浙江省台州市仙居安州中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离ACBC1km，且ACB120?，则A、B两点间的距离为( )AkmBkmC1.5kmD2km参考答案：A2. 设为等差数列的前项和，公差，若，则( )A B C D参考答案：3. 设若f（x）=，f（f（1）=8，则a的值是（）A1B2C1D2参考答案：B【考点】分段函数的应用；函数的值【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数，以及方程求解即可【解答】解：f（x）=，f（f（1）=8，f（1）=lg1=0，f（f（1）=f（0）=0=t3=a3=8，解得a=2故选：B【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点以及定积分的运算，考查计算能力4. 已知三棱锥P-ABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（ ）A. 3B. C. D. 参考答案：B【分析】画出图，根据弧长公式求解【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且.以顶点为球心，以2为半径作一个球与的，分别交于，得cos，所以，所以，同理，又是以顶点为圆心，以2为半径的圆周长的，所以，所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于.故选B.【点睛】本题主要考查球面距离及相关计算，考查空间想象能力属于中档题5. 已知函数的反函数，则等于A B C D参考答案：C略6. 在平面直角坐标系中，已知点A，B分别为x轴y轴上一点，且,若P(1，),则的取值范围是 A B C D 参考答案：D设A(，0)，B(0,)，则=(3-,3-),=(3-)+(3-)=37-6(+)=37-12即可求范围7. 若函数在区间内没有最值,则的取值范围是（ ）A B C. D参考答案：B函数的单调区间为，令，,解得，.若函数在区间内没有最值,则解得，由,得,当时,又因为,所以；当时, ,符合题意.故选.8. ABC中，若，则=( )ABCD参考答案：B略9. 已知点A，B，C在球O的表面上且A=，b=1，c=3三菱锥OABC的体积为，则球O的表面积为（）A16B32C20D5参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积【分析】利用解三角形得出截面圆的半径r，利用d2+r2=R2，求解R，计算球的表面积【解答】解：在ABC中，由a2=b2+c22bccosA得a=设ABC的外接圆的圆心为r，则2r=，即r=三菱锥OABC的体积为，h=O到平面ABC的距离h=球O的半径为R=则球O的表面积为4R2=20故选：C10. 设，直线x=1，x=1，y=0，y=e围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线x=1，y=0围成的区域为N，在区域M内任取一点P，则P点在区域N的概率为（）ABCD参考答案：A【考点】几何概型【分析】根据题意，画出曲线y=f（x）与直线x=1，y=0围成的区域为N（阴影部分），以及直线x=1，x=1，y=0，y=e围成的区域为M，计算阴影面积与正方形面积比即可【解答】解：如图，SN=11+exdx=+ex|=+e1=e，SM=2e，P点在区域N的概率为=，故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知=（cos，sin），=（，1），xR，则|的最大值是 参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的坐标运算和向量的模以及三角函数的化简，以及正弦函数的性质即可求出【解答】解：=（cos，sin），=（，1），=（cos+，sin1），|2=（cos+）2+（sin1）2=5+2（cossin）=5+4sin（）5+4=9，|的最大值是3，故答案为：312. 10进制的四位自然数的反序数是指千位与个位位置对调，百位与十位位置对调的数，例如4 852的反序数就是2 5841955年，卡普耶卡（DRKaprekar）研究了对四位自然数的一种变换：任给出四位数ao，用ao的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n，得出数a1=mn，然后继续对a1重复上述变换，得数a2，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论ao是多大的四位数,只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t请你研究两个10进制四位数5 298和4 852，可得k= ；四位数t= 。参考答案：； 略13. 已知和是定义在R上的两个函数，则下列命题正确的是(A)函数的图象关于直线x=0对称；(B)关于x的方程恰有四个不相等实数根的充要条件是(C)当m=l时，对成立(D)若成立，则其中正确的例题有_(写出所有正确例题的序号)。参考答案：(A) (B) (D)14. 如果随机变量，且，则 参考答案：根据对称性可知，所以。15. 曲线在点(0,1)处的切线方程为_.参考答案：【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。【详解】，当时其值为，故所求的切线方程为，即。【点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f(x)；求切线的斜率f(x0)；写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程16. 在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y2）2=5相切，且与直线ax+y1=0垂直，则实数a=参考答案：【分析】由题意，直线ax+y1=0的斜率a=，即可得出结论【解答】解：由题意，直线ax+y1=0的斜率a=，a=故答案为17. 求值：=参考答案：1考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：由二项式定理可知=（12）2013可求解答：解：=（12）2013=1故答案为：1点评：本题主要考查了二项式定理的逆应用，解题的关键是熟练掌握基本公式三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数的图象经过原点，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为. （1）若方程=0有两个实根分别为-2和4,求的表达式； （2）若在区间-1,3上是单调递减函数,求的最小值.参考答案：解（）因为函数的图象经过原点,所以,则.根据导数的几何意义知,4分由已知2、4是方程的两个实数,由韦达定理， 6分 （）在区间1，3上是单调减函数，所以在1，3区间上恒有,即在1，3恒成立,这只需满足即可,也即10分而可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（2，3）距离原点最近，所以当时, 有最小值13 13分略19. （本小题10分，矩阵与变换）已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量.（）求矩阵； （）写出矩阵的逆矩阵. 参考答案：（）由题知，=4分6分（）10分20. 已知向量，. （）若求向量与的夹角； （）当时，求函数的最大值.参考答案：解：（）当时，3分 （）故当略21. 砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位：ACC1A1）：甲地区的10个村子饮用水中砷的含量：52 32 41 72 43 35 45 61 53 44乙地区的10个村子饮用水中砷的含量：44 56 38 61 72 57 64 71 58 62（）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；（）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X表示派驻的医疗小组数，试写出X的分布列并求X的期望参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 【专题】概率与统计【分析】（I）法1：求出甲地区调查数据的平均数为，乙地区调查数据的平均数为，推出乙地区的饮用水中砷含量更高法2：利用茎叶图可直接推出结果，乙地区的引用水中砷含量更高（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：得到X的分布列，求出期望【解答】解：（I）法1：设甲地区调查数据的平均数为，；设乙地区调查数据的平均数为，由以上计算结果可得，因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：X的分布列为X0123P【点评】本题考查茎叶图以及离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力22. 几何证明选讲如图,已知切于点E,割线PBA交于A、B两点,APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.求证:(); ().参考答案：()证明:切于点, 平分 , ()证明: , 同理, 略