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湖南省邵阳市第十二中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 若满足约束条件,则目标函数的最大值是( ) A. B. C. D.参考答案:D2. 某单位共有职工150 名,某中高级职称45 人,中级职称90 人,初级职称15 人,现采用分层抽样方法从中抽取容量为30 的样本,则各职称人数分别为A9,18,3 B10,15,5 C10,17,3 D9,16,5参考答案:A3. 已知全集为R,集合A=x|2x1,B=x|x23x+20,则A?RB=()Ax|x0Bx|1x2Cx|0x1或x2Dx|0x1或x2参考答案:C【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求出集合AB,再求出B的补集,根据交集的定义即可求出【解答】解:全集为R,集合A=x|2x1=x|x0,B=x|x23x+20=x|1x2,?RB=x|x1或x2,A?RB=x|0x1或x2故选:C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键4. 已知公差不为零的等差数列等于 A4 B5 C8 D10参考答案:A由得,即。所以,所以,选A.5. 直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ( )A30 B45 C60 D 90参考答案:C6. 函数f(x)=sin(x+)(其中|)的图象如图所示,为了得到y=sinx的图象,只需把y=f(x)的图象上所有点( )A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度参考答案:A考点:由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(x+)的图象变换 专题:计算题分析:根据周期求出,再由五点法作图求出?,从而得到函数f(x)=sin2(x+),故把y=f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=sinx的图象,从而得出结论解答:解:由题意可得 =,=2再由五点法作图可得 2+?=,?=,故函数f(x)=sin(x+?)=sin(2x+)=sin2(x+)故把y=f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=sinx的图象,故选A点评:本题主要考查由函数y=Asin(x+?)的部分图象求函数的解析式,函数y=Asin(x+?)的图象变换,属于中档题7. 已知直线平行,则实数的值为() A B C或 D 参考答案:A8. 在复平面内,复数对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案:A9. 如图可表示函数y=f(x)图象的是()ABCD参考答案:D【考点】函数的概念及其构成要素【专题】函数的性质及应用【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断【解答】解:由函数的定义可知,对定义域内的任何一个变化x,有唯一的一个变量y与x对应则由定义可知A,B,C中图象均不满足函数定义故选:D【点评】本题主要考查了函数的定义以及函数的应用要求了解,对于一对一,多对一是函数关系,一对多不是函数关系10. 的值为A B C D 参考答案:C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为与,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为_参考答案:(1,1)【分析】联立两条曲线的极坐标方程,求得交点的极坐标,然后转化为直角坐标.【详解】由,解得,故,故交点的直角坐标为(1,1).故答案为(1,1)【点睛】本小题主要考查极坐标下两条曲线的交点坐标的求法,考查极坐标和直角坐标互化,属于基础题.12. 已知变量x,y,满足,若目标函数仅在(4,2)处取得最大值,则a的取值范围是_。参考答案:答案:a1 13. 外接圆的半径为1,圆心为O,且,则的值是_.参考答案:314. 等差数列中,公差且,恰好是一个等比数列的前三项,那么此等比数列的公比等于 参考答案:415. 设满足不等式组,若恒成立,则实数的最大值是_.参考答案:16. 设,若/,则 参考答案:略17. 不等式 的解集是 参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)在某次体检中,有6位同学的平均体重为65公斤用表示编号为的同学的体重,且前5位同学的体重如下:编号n12345体重xn6066626062()求第6位同学的体重及这6位同学体重的标准差;()从前5位同学中随机地选2位同学,求恰有1位同学的体重在区间中的概率参考答案:19. 已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有,当点的横坐标为3时,为正三角形。()求的方程;()若直线,且和有且只有一个公共点, ()证明直线过定点,并求出定点坐标; ()的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由参考答案:()由题意知,设,则的中点为因为,由抛物线的定义可知,解得或(舍去)由,解得所以抛物线的方程为.3()()由()知,设因为,则,由得,故,故直线的斜率因为直线和直线平行,设直线的方程为,代入抛物线的方程得,由题意,得设,则当时,可得直线的方程为,由,整理得,直线恒过点当时,直线的方程为,过点,所以直线过定点7()由()知直线过定点,所以。设直线的方程为,因为点在直线上故设,直线的方程为由于,可得,代入抛物线的方程得所以,可求得,所以点到直线的距离为=则的面积,当且仅当即时等号成立,所以的面积的最小值为1220. 已知函数f(x)=exaxa(其中aR,e是自然对数的底数,e=2.71828)()当a=e时,求函数f(x)的极值;()若f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;()求证:对任意正整数n,都有参考答案:考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值 专题:计算题;证明题;函数的性质及应用;导数的综合应用分析:() 当a=e时,f(x)=exexe,f(x)=exe,从而由导数的正负确定函数的单调性及极值;()求导f(x)=exa,从而讨论确定函数的单调性,由函数的单调性确定函数的最值,从而化恒成立问题为最值问题;()由()知,当a=1时,f(x)0恒成立,从而可化出ln(x+1)x,令x=(nN*),从而得到,从而证明解答:解:() 当a=e时,f(x)=exexe,f(x)=exe,当x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0所以函数f(x)在(,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=e,函数f(x)无极大值()由f(x)=exaxa,f(x)=exa,若a0,则f(x)0,函数f(x)单调递增,当x趋近于负无穷大时,f(x)趋近于负无穷大;当x趋近于正无穷大时,f(x)趋近于正无穷大,故函数f(x)存在唯一零点x0,当xx0时,f(x)0;当xx0时,f(x)0故a0不满足条件若a=0,f(x)=ex0恒成立,满足条件若a0,由f(x)=0,得x=lna,当xlna时,f(x)0;当xlna时,f(x)0,所以函数f(x)在(,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增,所以函数f(x)在x=lna处取得极小值f(lna)=a?lna,由f(lna)0得a?lna0,解得0a1综上,满足f(x)0恒成立时实数a的取值范围是()证明:由()知,当a=1时,f(x)0恒成立,所以f(x)=exx10恒成立,即exx+1,所以ln(x+1)x,令x=(nN*),得,则有ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+=11,所以,所以,即点评:本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,难点在于证明不等式时函数的构造与化简,属于难题21. (本小题满分12分)已知椭圆,过点作圆的切线,直线恰好过椭圆C的右顶点与上顶点.()求椭圆C的标准方程;()若圆上的一点的切线交椭圆C于A,B两点,试确定的大小,并加以证明.参考答案:方法一:解:()因为点在圆上, 所以直线, 又因为直线的斜率为,1分 所以直线的方程为: 令,可得,所以椭圆的右顶点坐标为;3分 再令,可得,所以椭圆的上顶点坐标为. 4分 所以,因此,椭圆的方程为: 6分 ()若直线的方程为:,则 此时,故; 若直线的方程为:,则, 此时,故. 猜想为定值 7分(写一种情形即可) 证明如下: 若直线的斜率存在,设, 则直线的方程为:整理可得:,8分 将代入椭圆方程可得, 整理得, 所以 . 9分 将代入椭圆方程可得:, 整理得, 所以.
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