2022-2023学年山西省晋中市古陶第二中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是离散型随机变量，P(=a)=，P(=b)=，且ab，又E=，D=，则a+b的值为（ ）A B C3 D参考答案：C2. 一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A底面是正方形，有两个侧面是矩形 B每个侧面都是全等矩形的四棱柱C底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D底面是正方形，有两个相邻侧面垂直于底面参考答案：D3. 已知函数的图象与函数的图象有三个不同的交点、，其中给出下列四个结论： ；其中，正确结论的个数有（ ）个A1 B2 C3 D4 参考答案：C由题意，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，即方程，由三个不同的实数解，即有三个不同的实数解，即函数与的图象有三个不同的交点，又由，当或时，函数单调递减；当时，函数单调递增，其图象如图所示，且当时，要使得函数与的图象有三个不同的交点，则，所以正确的；当时，即，解得或，所以当时，则 所以是正确的；结合图象可得，所以是正确的；又由，整理得，又因为，所以，即，结合可知，所以是错误的，故选C4. （ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】根据诱导公式可将所求式子化为，利用两角和差正弦公式求得结果.【详解】本题正确选项：B【点睛】本题考查逆用两角和差正弦公式求值的问题，关键是能够利用诱导公式将原式化成符合两角和差公式的形式.5. 设m,n是平面内的两条不同直线; l1,l2是平面内的两条相交直线. 则的一个充分而不必要条件是 Am且l1 Bml1且nl2Cm且nDm且nl2参考答案：B略6. 如图，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线ysin x(0x)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )参考答案：A7. 设椭圆+y2=1和双曲线y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是这两曲线的交点，则PF1F2的外接圆半径为（）A1B2C2D3参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】利用椭圆、双曲线的定义，结合余弦定理，证明PF1PF2，即可求出PF1F2的外接圆半径【解答】解：由题意，设P为第一象限的交点，|PF1|+|PF2|=2，|PF1|PF2|=2，|PF1|=+2，|PF2|=2，|F1F2|=6，cosF1PF2=0，PF1PF2，F1F2是PF1F2的外接圆的直径，则PF1F2的外接圆半径为3故选：D8. 设i为虚数单位，复平面内的点表示复数z，则表示复数的点是（ ）A(2,1) B(3,1) C(2,1) D(1,2) 参考答案：A9. 从分别标有，的张卡片中不放回地随机抽取次，每次抽取张，则抽到的张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）ABCD参考答案：C张卡牌中共有个奇数牌，个偶数牌，所以抽取两次共有种基本事件，其中满足卡片上数字奇偶性不同共有种基本事件，故抽到的张卡片上的数奇偶性不同的概率是故选10. 在公差为d的等差数列an中，“d1”是“an是递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据递增数列的性质结果充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若d1，则?nN*，an+1an=d10，所以，an是递增数列；若an是递增数列，则?nN*，an+1an=d0，推不出d1，故“d1”是“an是递增数列”的充分不必要条件，故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知定义在R上的奇函数，当时，则 解析式为_.参考答案：略12. 已知等比数列的公比为正数，且，则= * . 参考答案：略13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b= 参考答案：试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f （x0）的几何意义是曲线yf （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率相应地，切线方程为y?y0f （x0）（x?x0）注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同14. 设x，y满足约束条件：；则z=x2y的取值范围为参考答案：3，3【考点】简单线性规划【专题】计算题【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x2y可得，y=，则表示直线x2yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x2y可得，y=，则表示直线x2yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x2yz=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x2yz=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）Zmax=3，Zmin=3则z=x2y3，3故答案为：3，3【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案15. 抛物线的准线方程是 ;参考答案：16. 设过曲线f（x）=exx（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为参考答案：1，2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数f（x）=exx的导函数，进一步求得（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=exx上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2转化为集合间的关系求解【解答】解：由f（x）=exx，得f（x）=ex1，ex+11，且k1k2=1，（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g（x）=a2sinx，又2sinx2，2，a2sinx2+a，2+a，要使过曲线f（x）=exx上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则，解得1a2即a的取值范围为1a2故答案为：1，217. 已知等比数列的各项均为正数，前n项之积为Tn,若 .参考答案：1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知圆，直线：，。（1）若直线过圆的圆心，求的值；(5分)（2）若直线与圆交于两点，且,求直线的倾斜角. （7分）参考答案：（1）将代入得11=0，=0（5分）（5分）（2） ，圆半径，圆心到直线的距离（8分）（10分）为直线斜率，倾斜角为19. 某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中 120130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 参考答案：解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人. 各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,由=100,解得.各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. (2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.略20. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期及最值；（2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由。参考答案：略21. 已知圆过点，且与圆外切于点（I）求两个圆的内公切线的方程(如果两个圆位于公切线的异侧，则这条公切线叫做两个圆的内公切线)；（II）求圆的方程参考答案：（1）（2）令，则为所求圆圆心）直线方程是，线段的中垂线是，得点坐标，半径，圆方程是略22. 已知数列an的各项均为正整数，对于任意nN*，都有2+2+成立，且a2=4（1）求a1，a3的值；（2）猜想数列an的通项公式，并给出证明参考答案：考点：数学归纳法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）直接利用已知条件，通过n=1，直接求a1，n=2，求解a3的值；（2）通过数列的前3项，猜想数列an的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明猜想即可解答：解：（1）因为，a2=4当n=1时，由，即有，解得因为a1为正整数，故a1=1 当n=2时，由，解得8a310，所以a3=9 （2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：下面用数学归纳法证明1当n=1，2，3时，由（1）知均成立2假设n=k（k3）成立，则，由条件得，所以，所以 因为k3，又，所以即n=k+1时，也成立由1，2知，对任意nN*， 点评：本题考查递推数列的应用，数学归纳法的应用，考查分析问题解决问题的能力