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辽宁省沈阳市奉天高级中学高三数学理摸底试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=(1,n),=(1,n2),若与共线则n等于()A1BC2D4参考答案:A【考点】平行向量与共线向量;平面向量的坐标运算【分析】根据向量共线的充要条件的坐标表示式,建立关于n的方程,解之即可得到实数n的值【解答】解:向量=(1,n),=(1,n2),且与共线1(n2)=1n,解之得n=1故选:A2. 已知集合,集合,则 等于A B C D参考答案:A略3. 执行如图所示的程序框图,则输出的b值等于A. B. C. D. 参考答案:C略4. 已知定义在复数集上的函数满足,则等于( ) A B C. D参考答案:C略5. 已知e是自然对数的底数,函数的零点为,函数的零点为,则下列不等式成立的是( )A B C D参考答案:D易知函数f(x)=ex+x2在R上是增函数,g(x)=lnx+x2在(0,+)上也是增函数;又f(a)=0,f(1)=e+120,g(b)=0,g(1)=0+120,0a1b;故f(a)f(1)f(b);6. 设函数,则( )A.为f(x)的极大值点 B为f(x)的极小值点 C.为f(x)的极大值点 D为f(x)的极小值点参考答案:D7. 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为A.3 B. 2 C1 D参考答案:A8. 设向量,满足|=2,在方向上的投影为1,若存在实数,使得与垂直,则=()AB1C2D3参考答案:C【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量投影的意义可得,再利用向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解:向量,满足|=2,在方向上的投影为1,=21=2存在实数,使得与垂直,=0,222=0,解得=2故选:C【点评】本题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系,属于基础题9. 若,则复数=( )A. B. C. D.参考答案:B10. 设是双曲线的两个焦点, 是上一点, 若且的最小内角为, 则的离心率为( )A. B. C. D. 参考答案:二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设向量,满足, ,且与的方向相反,则的坐标为_.参考答案:略12. 若复数是实数,则实数参考答案:略13. 不等式的解集是,则m= 。参考答案:214. 复数,则复数的模等于_参考答案:,15. 关于、的二元线性方程组的增广矩阵经过变换,最后得到的矩阵为,则二阶行列式= .参考答案:由增广矩阵可知是方程组的解,所以解得,所以行列式为。16. (5分) 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S值为;参考答案:0【考点】: 程序框图【专题】: 图表型;算法和程序框图【分析】: 模拟执行程序,依次写出每次循环得到的S,i的值,当i=5时,满足条件i4,退出循环,输出S的值为0解:模拟执行程序,可得S=1,i=1S=3,i=2,不满足条件i4,S=4,i=3不满足条件i4,S=1,i=4不满足条件i4,S=0,i=5满足条件i4,退出循环,输出S的值为0故答案为:0【点评】: 本题主要考查了程序框图和算法,正确写出每次循环得到的S,i的值是解题的关键,属于基本知识的考查17. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 参考答案:4+1【考点】由三视图求面积、体积【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形,进一步利用几何体的体积公式求出结果【解答】解:根据几何体的三视图可知,该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥所组成的,如图所示,且其底面均为高为的等边三角形,其面积为2=,三棱柱的高为4,三棱锥的高为,故几何体的体积为4+=4+1,故答案为:4+1三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)直线ykxb与曲线交于A、B两点,记AOB的面积为(O是坐标原点)KS*5U.C#O (1)求曲线的离心率; (2)求在k0,0b1的条件下,的最大值参考答案:19. 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线与相交于两点,且.(1)求的值;(2)直线与曲线相交于,证明:(为圆心)为定值.参考答案:(1)解:直线和圆的普通方程分别为,直线过圆的圆心,所以;(2)证明:曲线,可知直线的参数方程为(为参数)代入曲线得,恒成立,设两点对应的参数分别为,则,所以为定值.20. (12分) 已知各项均为正数的等比数列an,公比q1,且满足a2a4=64,a3+2是a2,a4的等差中项. (1)求数列an的通项公式; (2)设,试比较An与Bn的大小,并证明你的结论.参考答案:解析:(1)2分 的等差中项, 解得q=2或(舍去),4分 5分 (2)由(1)得, 当n=1时,A1=2,B1=(1+1)2=4,A1B1; 当n=2时,A2=6,B2=(2+1)2=9,A2B2; 当n=3时,A3=14,B3=(3+1)2=16,A3B4; 由上可猜想,当1n3时,AnBn.8分 下面用数学归纳法给出证明: 当n=4时,已验证不等式成立. 假设n=k(k4)时,AkBk.成立,即, 即当n=k+1时不等式也成立, 由知,当 综上,当时,AnBn;当21. 请你设计一个LED霓虹灯灯箱现有一批LED霓 虹灯灯箱材料如图所示,ABCD是边长为60 cm的 正方形LED散片,边CD上有一以其中点M为圆 心,半径为2 cm的半圆形缺损,因此切去阴影部分(含半圆形缺损)所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于空间一点P,正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE= FB=xcm.(1)用规格长宽高=145 cm145 cm 75 cm外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱,灯箱彼此间隔空隙至多0.5 cm,请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱(每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少)?(2)若材料成本2元,霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S()为准,售价为2.4元试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少?参考答案:略22. (本题满分12分)某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段,现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,制成如下频率分布表:分数(分数段)频数(人数)频率0.1622140.28合计501(I)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案);(II)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答4道小题,只要答对2道题就终止答题,并获得一等奖,如果前三道题都答错,就不再答第四题。某同学进入决赛,每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同.求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率;记该同学决赛中答题个数为,求的分布列及数学期望.参考答案:解:() 8 0.44 6 0.12 4分 ()由()得:P = 0.4该同学恰好答满4道题而获得一等奖,即前3道题中刚好答对1道题.第4道也能够答对才获得一等奖,则有 6分因为只要答对2道题就终止答题,并获得一等奖,所以该同学答题个数为2、3、4.即X= 2、3、4分布列为:12分略
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