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湖北省随州市随县殷店镇东坡中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象是( )参考答案:A2. 如图,四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形,直角三角形两直角边的比为1:2,小正方形的边长为2,作出小正方形的内切圆,现在大正方形内随机取-点,则此点取自圆内部分的概率为( )A. B. C. D. 参考答案:C【分析】求得大正方形的边长,得到大正方形的面积为5,再求得小正方形为为1,得打内切圆半径为,内切圆的面积为,最后根据面积比的几何概型,即可求解.【详解】设直角三角形的直角边为,则大正方形的边长为,所以大正方形的面积为5,四个直角三角形的面积和为,所以小正方形的面积为,所以小正方形边长为1,内切圆半径为,内切圆的面积为,由面积比的几何概型,可得概率为,故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型概率的计算问题,解决此类问题的步骤:求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”,再求出总的基本事件对应的“几何度量”,然后根据求解,着重考查了分析问题和解答问题的能力.3. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是 ( ) A“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数,则它是负数” C“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”参考答案:C略4. 已知函数,若实数是方程的解,且,则 的值( )A恒为负 B等于零 C恒为正 D不大于零参考答案:A略5. 对于实数x,符号x表示不超过x的最大整数,例如,定义函数x,则下列命题中正确的是 ( ) A函数的最大值为1 B函数有且仅有一个零点 C函数是周期函数D函数是增函数参考答案:答案:C 6. 在ABC中,AC=,AB=2,BAC=135,D是BC的中点,M是AD上一点,且=2,则?的值是()ABCD参考答案:A【考点】9R:平面向量数量积的运算【分析】运用向量数量积的定义求得?,运用向量中点的表示,求得,再由向量的加减运算可得,可得?=()?(),展开运用向量的数量积的性质:向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求值【解答】解:AC=,AB=2,BAC=135,可得?=|?|?cosBAC=2?()=2,D是BC的中点,可得=(+),且=2,即有=(+),则?=()?()=()?()=22+?=422=故选:A7. 已知命题p:?xR,sinx1则p是( )A?xR,sinx1B?xR,sinx1C?xR,sinx1D?xR,sinx1参考答案:B考点:特称命题;命题的否定 专题:计算题分析:根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为?xR,使得sinx1解答:解:根据全称命题的否定是特称命题可得,命题p:?xR,sinx1的否定是?xR,使得sinx1故选B点评:本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用,属于基础试题8. 已知是双曲线()的两个焦点若双曲线上存在一点P,使得,成等差数列,则双曲线离心率的取值范围是()A B C D参考答案:B略9. 设满足约束条件则的最大值是( )A B1 C D2参考答案:D10. 定义在R上的函数满足,且时,则A1 B C D参考答案:C【知识点】函数的奇偶性与单调性 B3,B4 解析:由,因为,所以,所以.故选【思路点拨】把所求的值利用函数的奇偶性与单调性导入已知的区间,再求出结果.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 参考答案:12. 已知等比数列an的前n项和为,则的值是_.参考答案:10【分析】根据等比数列前项和公式,由可得,通过化简可得,代入的值即可得结果.【详解】,显然,故答案为10【点睛】本题主要考查等比数列的前项和公式,本题解题的关键是看出数列的公比的值,属于基础题13. 等比数列an中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4= 参考答案:30【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解:设等比数列an的公比为q0,2S3=8a1+3a2,a4=16,2a1(1+q+q2)=a1(8+3q),=16,解得a1=q=2则S4=30故答案为:3014. 已知则=_.参考答案:略15. 设为等差数列的前项和,若,则 参考答案:略16. 已知点,抛物线C:的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若,则实数a的值为 参考答案:依题意得焦点的坐标为,过作抛物线的准线的垂线且垂足为,连接,由抛物线的定义知,因为,所以,又,所以,解得17. 在平行四边形ABCD中,4,BAD60,E为CD的中点,若 4,则_参考答案:6三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (14分) 椭圆C的中心坐标为原点O,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离以及离心率均为 (1)求椭圆方程; (2)若的取值范围。参考答案:解析:(1)设椭圆C的方程: (2)由 由式得 19. 如图,在斜三棱柱中,侧面底面,侧棱与底面成60的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点, 是线段上一点,且.(1)求证:/侧面;(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值。参考答案:解法1:(1)延长B1E交BC于点F,FEB,BE=EC1,BF=B1C1=BC, 从而点F为BC的中点. G为ABC的重心,A、G、F三点共线.且, 又GE侧面AA1B1B,GE/侧面AA1B1B. 5分(2) 侧面AA1B1B底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60的角,A1AB=60, 又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO底面ABC. 以O为原点建立空间直角坐标系O如图, 则,. G为ABC的重心,., . 又GE侧面AA1B1B,GE/侧面AA1B1B. 6分(2)设平面B1GE的法向量为,则由得可取又底面ABC的一个法向量为 设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则. 故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为. 12分略20. 已知数列的前n项和为,满足 (1)证明:数列+2是等比数列.并求数列的通项公式; (2)若数列满足,设是数列的前n项和,求证:参考答案:证明:(1)由得:Sn=2an2n当nN*时,Sn=2an2n, 则当n2, nN*时,Sn1=2an12(n1). ,得an=2an2an12, 即an=2an1+2, an+2=2(an1+2) 当n=1 时,S1=2a12,则a1=2, an+2是以a1+2为首项,以2为公比的等比数列.5分an+2=42n1,an=2n+12, (2)证明:由 则 , ,得 所以: .21. 已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上,且椭圆的短轴长为2,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A,B分别为椭圆的左,右顶点,设点P在第一象限,且轴,连接PA交椭圆于点C,直线PA的斜率为k.()求椭圆的方程;()若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积,求k的值;()设点N为AC的中点,射线NO(O为原点)与椭圆交于点M,满足,求k的值.参考答案:()()()【分析】(I)根据抛物线的准线求得,根据短轴长求得,由此求得,进而求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,求得点的坐标,令求得点坐标.利用三角形的面积公式计算出和的面积,根据题目已知条件,这两个三角形的面积相等,由此列方程,解方程求得的值.(III)根据(II)求得点坐标,由此求得的斜率,设所在直线方程为,代入椭圆方程,求得点坐标,计算出到直线的距离,的长度,化简得到,利用列方程,解方程求得的值.【详解】解:()由已知得,故,椭圆方程为:,()设直线方程为,令()由(II)和中点坐标公式,得,设所在直线方程为,则,到直线的距离:,即,化简得,.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查三角形的面积公式,考查点到直线的距离公式,考查运算求解能力,综合性很强,属于难题.22. (本小题满分12分) 已知函数f(x)lnx1(1)若函数f(x)在1,2上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若a1,kR且k,设F(x)f(x)(k1)lnx1,求函数F(x)在,e上的最大值和最小值参考答案:
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