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上海民办上宝中学高二数学文期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 小亮、小明和小红约好周六骑共享单车去森林公园郊游,他们各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这3种颜色的单车中选择1种,则他们选择相同颜色自行车的概率为( )A B CD参考答案:B由题意,小亮,小明和小红各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这3种颜色的单车中选择1种有27种不同的结果,他们选择相同颜色自行车有3种不同的结果,故他们选择相同颜色自行车的概率为,故选B2. 函数y=x3+x的递增区间是()A(,1)B(1,1)C(,+)D(1,+)参考答案:C【考点】函数的单调性及单调区间【分析】求出函数的导数,由二次函数的性质,即可得到函数在定义域R上递增【解答】解:函数y=x3+x的导数为y=3x2+110,则函数在定义域R上递增即有函数的递增区间为(,+)故选:C【点评】本题考查了运用导数求函数的单调区间,属于基础题3. 下面几种推理过程是演绎推理的是()(A)某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人(B)由三角形的性质,推测空间四面体的性质(C)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分(D)在数列an中,a1=1,an=,由此归纳出an的通项公式参考答案:C略4. 若函数f(x)=2x2 - lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是( ) A. ( ,+ ¥) B. (- ¥, ) C. (, ) D. 1, )参考答案:D5. 若命题“p或q”为真,“非p”为真,则()Ap真q真Bp假q真Cp真q假Dp假q假参考答案:B【考点】复合命题的真假【分析】根据“非p”为真,得到p假,根据命题“p或q”为真,则p真或q真,从而得到答案【解答】解:若命题“p或q”为真,则p真或q真,若“非p”为真,则p为假,p假q真,故选:B6. 已知an是首项为1的等比数列,且4a1,2a2,a3成等差数列,则数列an的前5项的和为A B C32 D31参考答案:D7. 直线与圆相交于两点,则弦的长度等于( )A B C D1参考答案:B 略8. 过双曲线x2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有( ) A1条 B2条 C3条 D4条参考答案:C9. 已知,则下列结论正确的是 ( )A、 B、C、 D、参考答案:D略10. 把把二项式定理展开,展开式的第项的系数是( )A B C D参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,点E是线B1C段的中点,则三棱锥ADED1外接球的体积为 参考答案:36【考点】球的体积和表面积【分析】三棱锥ADED1外接球为四棱锥EA1D1DA外接球,利用勾股定理建立方程,求出球的半径,即可求出三棱锥ADED1外接球体【解答】解:三棱锥ADED1外接球为四棱锥EA1D1DA外接球,设球的半径为R,则R2=(2)2+(4R)2,R=3,三棱锥ADED1外接球体积为=36故答案为:3612. 已知椭圆+=1的长轴在y轴上,若焦距为4,则m=参考答案:8【考点】椭圆的简单性质【分析】根据条件可得a2=m2,b2=10m,c2=a2b2=2m12,由焦距为4,即c=2即可得到m的值【解答】解:由椭圆+=1的长轴在y轴上,则a2=m2,b2=10m,c2=a2b2=2m12由焦距为4,即2c=4,即有c=2即有2m12=4,解得m=8故答案为:813. 计算_ 参考答案:14. 抛物线的焦点为F,M为抛物线上的点,设,若,AMF的面积为,则p的值为 参考答案:315. 在平面直角坐标系中,已知中心在坐标原点的双曲线经过点,且它的右焦点与抛物线的焦点相同,则该双曲线的标准方程为 参考答案:; 16. 已知等差数列的前项和为,若,则 ;参考答案:717. sin15+sin75的值是 参考答案:【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数的化简求值【专题】三角函数的求值【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可【解答】解:sin15+sin75=sin15+cos15=(sin15cos45+cos15sin45)=sin60=故答案为:【点评】本题考查两角和的正弦函数,三角函数的化简求值,考查计算能力三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. .已知数列,记数列的前n项和(1)计算,;(2)猜想的表达式,并用数学归纳法证明参考答案:1 ,;2 ,证明见解析.【分析】(1)S1a1,由S2a1+a2求得S2,同理求得 S3,S4(2)由(1)猜想猜想,nN+,用数学归纳法证明,检验n1时,猜想成立;假设,则当nk+1时,由条件可得当nk+1时,也成立,从而猜想仍然成立【详解】(1);(2)猜想证明:当时,结论显然成立;假设当时,结论成立,即,则当时,当时,结论也成立,综上可知,对任意,由(1),(2)知,等式对任意正整数都成立19. (本小题满分10分)已知.(1)求的最小值及取最小值时的集合;(2)求在时的值域;(3)求在时的单调递减区间.参考答案:(1)当,;(2);(3).试题分析:先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数.(1)将看成整体,然后由正弦函数的最值可确定函数的最小值,并明确此时的值的集合;(2)先求出的范围为,从而,然后可求出时,函数的值域;(3)将当成整体,由正弦函数的单调减区间中解出的取值范围,然后对附值,取满足的区间即可.试题解析:化简 4分(1)当时,取得最小值,此时即,故此时的集合为 6分(2)当时,所以,所以,从而即 9分(3)由解得当时,而,此时应取当时,而,此时应取故在的单调减区间为 14分.考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的图像与性质.20. (本小题12分)如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面(1)证明:平面;(2)若,当与平面所成角的正切值为时,求四棱锥的外接球表面积参考答案:(1)证明,2分同理由,可证得4分又,6分21. (本小题满分12分)已知A、B、C 为的三个内角,他们的对边分别为a、b、c,且.(1)求A;(2)若求bc的值,并求的面积参考答案:(1)2分6分(2)由余弦定理可得:9分由得12分22. 已知椭圆C: +=1(ab0)过点A(2,3),且离心率e=(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在过点B(0,4)的直线l交椭圆于不同的两点M、N,且满足?=(其中点O为坐标原点),若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】(1)由已知条件推导出,由此能求出椭圆C的标准方程(2)设直线l的方程为y=kx+4,联立,得(4k2+3)x2+32kx+16=0,由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程【解答】解:(1)椭圆C: +=1(ab0)过点A(2,3),且离心率e=,解得a=4,c=2,b=2,椭圆C的标准方程是(2)设直线l的方程存在,若l的斜率不存在,则M(0,2),N(0,2),此时,不成立若l的斜率k存在,则l的方程为y=kx+4,联立,得(4k2+3)x2+32kx+16=0,0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则,y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16,?=,x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+4k(x1+x2)+16=+16=,解得k2=1直线l的方程为y=x+4
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