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河北省唐山市南观乡中学2022-2023学年高二数学文摸底试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 点P(a,3)到直线4x3y+1=0的距离等于4,则P点的坐标是()A(7,3)B(3,3)C(7,3)或(3,3)D(7,3)或(3,3)参考答案:C【考点】点到直线的距离公式【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆【分析】由已知条件利用点到直线距离公式能求出结果【解答】解:点P(a,3)到直线4x3y+1=0的距离等于4,=4,解得a=7,或a=3,P(7,3)或P(3,3)故选:C【点评】本题考查点的坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用2. 设复数z满足,z在复平面内对应的点为(x,y),则A. B. C. D. 参考答案:C【分析】本题考点为复数的运算,为基础题目,难度偏易此题可采用几何法,根据点(x,y)和点(0,1)之间的距离为1,可选正确答案C【详解】则故选C【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算,渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法,利用方程思想解题3. 已知是虚数单位,复数的虚部为( )(A)1 (B) (C) (D)参考答案:B4. 已知均为正数,则使恒成立的实数的取值范围是( )A B C D参考答案:A5. 如图,为测得河对岸塔的高,先在河岸上选一点,使在塔底的正东方向上,测得点的仰角为,再由点沿东偏北方向走米到位置,测得,则塔的高度为( )A. B. C. D.参考答案:B略6. 函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)f(4x),且当x(,2)时,(x2)f(x)0,设af(0),bf(1), cf(4),则a,b,c由小到大排列为()A、abc B、acb C、cba D、ca0,b0,a+b=2,则的最小值是 ( )A、 B、4 C、 D、5参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线的极坐标方程,则极点到直线的距离为_参考答案:【分析】先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程,再由点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】由得,所以直线的直角坐标方程为,又极点的直角坐标为,所以极点到直线的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型.12. 已知是R上的增函数,那么实数a的取值范围是 参考答案: 13. 已知,若恒成立,则的最大值为 。参考答案:略14. 函数f(x)=xex的导函数f(x)=参考答案:(1+x)ex【考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】根据函数的导数运算公式即可得到结论【解答】解:函数的导数f(x)=ex+xex=(1+x)ex,故答案为:(1+x)ex【点评】本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见函数的导数公式15. 如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆构成,其底端三点均匀地固定在半径为的圆上(圆在地面上),三点相异且共线,与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为,记用料总长为,设(1)试将表示为的函数,并注明定义域;(2)当的正弦值是多少时,用料最省?参考答案:(1),. (2)时用料最省.解析 :解:(1)因与地面垂直,且,则是全等的直角三角形,又圆的半径为3,所以, 3分又,所以, 6分若点重合,则,即,所以,从而,. 7分(2)由(1)知,所以,当时, 11分令,当时,;当时,;所以函数L在上单调递减,在上单调递增, 15分所以当,即时,L有最小值,此时用料最省. 16分略16. 曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为 . 参考答案:2略17. 设函数y=f(x)在区间0,1上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有0f(x)1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间0,1上的均匀随机数x1,x2,xN和y1,y2,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,N).再数出其中满足yif(xi)(i=1,2,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得到S的近似值为_.参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 某初级中学有三个年级,各年级男、女生人数如下表:初一年级初二年级初三年级女生370z200男生380370300已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19(1)求z的值;(2)用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任选2名学生,求至少有1名女生的概率;(3)用随机抽样的方法从初二年级女生中选出8人,测量它们的左眼视力,结果如下:1.2,1.5,1.2,1.5,1.5,1.3,1.0,1.2把这8人的左眼视力看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的概率参考答案:【考点】古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法【分析】(1)先根据抽到初二年级女生的概率是0.19,即可求出z值,(2)本题是一个古典概型,试验发生包含的事件可以列举出所有,共有10种结果,满足条件的事件是至少有1名女生的基本事件有7个,根据概率公式得到结果(3)首先做出样本平均数,把数据进行比较与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的数有4个数,总的个数为8,得到概率【解答】解:(1)=0.19,z=380(2)设所抽样本中有m个女生,因为用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2名女生,3名男生,分别记作S1,S2,B1,B2,B3,则从中任取2人的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3)共10个,其中至少有1名女生的基本事件有7个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),从中任取2人,至少有1名女生的概率为(3)样本的平均数为=(1.2+1.5+1.2+1.5+1.5+1.3+1.0+1.2)=1.3那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的数为1.2,1.2,1.3,1.2这4个数,总的个数为8,该数与样本平均数之差的约对值不超过0.1的概率为19. (本小题满分l0分)已知命题p:“任意的x1,2,x2a0”;命题q:“存在x0R,x2ax02a0”,若命题“p且q”是真命题。求实数a的取值范围参考答案:由“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题若p为真命题,ax2恒成立,x1,2,a1.若q为真命题,即x22ax2a0有实根,4a24(2a)0,即a1或a2.综上可知实数a的取值范围为a2或a1.20. 已知函数(1)若,是否存在,使得为偶函数,如果存在,请举例并证明,如果不存在,请说明理由;(2)若,判断在上的单调性,并用定义证明;(3)已知,存在,对任意,都有成立,求a的取值范围.参考答案:(1)见解析;(2)见解析;(3).【分析】(1)将代入证明为偶函数即可。(2)代入,先判断函数为单调递减函数,再根据定义法代入作差即可证明为单调递减函数。(3)去绝对值化简不等式,根据全称命题与特称命题的成立关系可得,分两段不等式求解即可。【详解】(1)存在使为偶函数, 此时:,证明:的定义域为关于原点对称,且为偶函数。(2),且,在上为减函数证明:任取,且, ,即在上为减函数 (3),对任意,存在,使得成立,即存在,使得, 当时,为增函数或常函数,此时,则有恒成立当时, 当时, 综上所述:. 【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合英语,恒成立与存在性成立问题的综合应用,讨论过程复杂,需要很强的数学思维能力,属于难题。21. (12分)(1)以点为圆心且与直线相切的圆的方程.(2) 求过点且与直线平行的直线方程参考答案:略22. (本小题满分12分)如图,已知直线:交抛物线于、两点,试在抛物线这段曲线上求一点,使的面积最大,并求这个最大面积参考答案:得:、故4分设点,则到直线的距离为:,所以故当,即点时,的面积
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