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2022年湖南省娄底市涟源办事处中学高二数学文模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知,则下列三个数( )A都大于6 B至少有一个不大于6 C都小于6 D至少有一个不小于6参考答案:D假设3个数,都小于6,则 利用基本不等式可得,这与假设矛盾,故假设不成立,即3个数,至少有一个不小于6,故选D.2. 下列有关样本相关系数的说法不正确的是 ( )A相关系数用来衡量变量与之间的线性相关程度B,且越接近于1,相关程度越大C,且越接近于0,相关程度越小D,且越接近于1,相关程度越大参考答案:D略3. 已知命题,;命题,则下列命题中为真命题的是:()ABCD参考答案:B略4. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左(侧)视图为( )参考答案:C略5. 直线的倾斜角是A. 30B. 60C. 120D. 150参考答案:C【分析】求出直线的斜率,然后求解直线的倾斜角即可【详解】因为直线的斜率为:,直线的倾斜角为:所以,故选:C【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法,基本知识的应用6. 设等比数列的前项和为,若,则(A) (B) (C) (D)参考答案:B7. 已知数据,是杭州市100个普通职工的2016年11月份的收入(均不超过2万元),设这100个数据的中位数为,平均数为,方差为,如果再加上马云2016年11月份的收入(约100亿元),则相对于、,这101个月收入数据 ( )(A) 平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变。(B) 平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变。(C) 平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变。(D) 平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大。参考答案:D已知数据,是杭州市100个普通职工的2016年11月份的收入(均不超过2万元),而远大于,所以这101个数据中,平均数变大,数据的集中程度也受到的影响,更加离散,则方差变大,故选D8. 两人打靶,甲击中目标的概率为0.8,乙击中目标的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则他们都击中目标的概率是()A0.6B0.48C0.75D0.56参考答案:D【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】设A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中目标”,他们都击中目标的概率是P(AB)=P(A)P(B),由此能求出结果【解答】解:设A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中目标”,两人同时射击一目标,P(A)=0.8,P(B)=0.7,他们都击中目标的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.80.7=0.56故选:D9. 在复平面内,复数i(2i)对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案:A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】首先进行复数的乘法运算,得到复数的代数形式的标准形式,根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标,看出所在的象限【解答】解:复数z=i(2i)=i2+2i=1+2i复数对应的点的坐标是(1,2)这个点在第一象限,故选A10. 设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x4y的最大值和最小值分别为()A3,11B3,11C11,3D11,3参考答案:A【考点】简单线性规划【分析】作出可行域z为目标函数纵截距负四倍画直线3x4y=0,平移直线观察最值【解答】解:作出满足约束条件的可行域,如右图所示,可知当直线z=3x4y平移到点(5,3)时,目标函数z=3x4y取得最大值3;当直线z=3x4y平移到点(3,5)时,目标函数z=3x4y取得最小值11,故选A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 用0,1,2,3四个数字,组成没有重复数字的四位数,则其中偶数的个数为_参考答案:略12. 如图1,线段AB的长度为,在线段AB上取两个点C、D,使得,以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形,然后去掉线段CD,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段EF作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为Sn,现给出有关数列Sn的四个命题:数列Sn是等比赞列;数列Sn是递增数列; 存在最小的正数a,使得对任意的正整数n,都有;存在最大的正数a,使得对任意的正整数n,都有.其中真命题的序号是_ (请写出所有真命题的序号).参考答案:分析:求出数列是的前四项,可得到错,对;利用等比数列求和公式求出,利用不等式恒成立可判断错,对.详解:由图可知,不是等比数列,错误;是递增数列,正确;,对于,要使恒成立,只需,无最小值,错误;对于,要使恒成立,只需,即的最大值为,正确,真命题是,故答案为.点睛:本题考查等比数列的求和公式,不等式恒成立问题以及归纳推理的应用,属于难题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.13. 在等差数列中已知,a 7=8,则a 1=_参考答案:1014. 从6名男生和4名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生,不同的选法有_ 种(用数字作答)。参考答案:100略15. 设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上,记当APC为钝角时,则的取值范围是 参考答案:(,1)【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离 【专题】综合题;空间位置关系与距离【分析】建立空间直角坐标系,利用APC不是平角,可得APC为钝角等价于cosAPC0,即,从而可求的取值范围【解答】解:由题设,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1)=(1,1,1),=(,),=+=(,)+(1,0,1)=(1,1)=+=(,)+(0,1,1)=(,1,1)显然APC不是平角,所以APC为钝角等价于cosAPC0(1)()+()(1)+(1)2=(1)(31)0,得1因此,的取值范围是(,1)故答案为:(,1)【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角,一元二次不等式的解法,属于中档题16. 已知x0,y0,且x+4y=1,则的最小值为 参考答案:17. 已知函数,若对于任意的,都有成立,则的最小值为( )A. 4B. 1C. D. 2参考答案:D【分析】由题意得出的一个最大值为,一个最小值为,于此得出的最小值为函数的半个周期,于此得出答案。【详解】对任意的,成立.所以,所以,故选:D。【点睛】本题考查正余弦型函数的周期性,根据题中条件得出函数的最值是解题的关键,另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式,考查分析问题的能力,属于中等题。三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (13分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足(如图所示)()求得重心(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;()的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由参考答案:解:(I)设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1)OAOB ,即,(2)3分又点A,B在抛物线上,有,代入(2)化简得4分所以重心为G的轨迹方程为6分(II)由(I)得11分当且仅当即时,等号成立。12分所以AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1; 13分略19. 设命题:关于的方程有实数根;命题:关于的不等式的解集是若“或”为真,“且”为假,求的取值范围参考答案:真:或,真:因为“或”为真,“且”为假,则一真一假。若真假或,若真假综上:的范围是略20. (本小题满分12分)已知函数()求函数的单调递减区间;(II)若在上恒成立,求实数的取值范围;(III)过点作函数图像的切线,求切线方程参考答案:()得 函数的单调递减区间是;4分 ()即 设则2分 当时,函数单调递减; 当时,函数单调递增; 最小值实数的取值范围是;8分()设切点则即 设,当时是单调递增函数 10分 最多只有一个根,又 由得切线方程是. 12分21. 参考答案:有极大值,又,即当时,的最大值为,当时,恒成立,解得或。所以的取值范围是。略22. 过抛物线y2=2Px(P0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=a作垂线,垂足分别为M1,N1(1)当a=时,求证:AM1AN1;(2)记AMM1,AM1N1,ANN1的面积分别为S1,S2,S3,是否存在,使得对任意的a0,均有S22=S1?S3成立,若存在,求出的值;若不存在,说明理由参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质【分析】(1)当a=时,如图所示,设M,N则,由题意可设直线MN的方程为my+=x,与抛物线方程联立得到根与系数的关系只要证明=0即可(2)假设存在,使得对任意的a0,均有 S22=S1?S3成立设M,N则M1(a,y1),N1(a,y2),不妨设y10设直线MN:my+a=x,与抛物线方程联立得到根与系数的关系,用坐标分别表示S1,S2,S3利用 S22=S1?S3成立即可得出【解答】解:(1)当a=时,如图所示,设M,N则,则=(p,y1)?(p,y2)=p2+y1y2(*)设直线MN的方程为my+=x,联立,化为y22pmxp2=0代入(*)可得=p2p2=0AM1AN1;
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