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山西省晋中市长凝中学高一数学理联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知函数,若存在实数a,使得f(a)+g(x)=0,则x的取值范围为()A1,5B(,15,+)C1,+)D(,5参考答案:A【考点】分段函数的应用【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用【分析】由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围,从而得到函数f(x)的值域,从而化为最值问题即可【解答】解:当x(,0)时,f(x)=x2+2x1,+);当x0,+)时,f(x)=ln(x+1)0,+)所以f(x)1,+),所以只要g(x)(,1即可,即(x2)28(,1,可得(x2)29,解得x1,5故选:A【点评】本题考查了分段函数的应用及配方法求最值的应用,同时考查了恒成立问题,属于中档题2. 已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点,将ACD沿对角线折起,使得平面ABC平面ADC(如图),则下列命题中正确的是()A直线AB直线CD,且直线AC直线BDB直线AB平面BCD,且直线AC平面BDEC平面ABC平面BDE,且平面ACDBDED平面ABD平面BCD,且平面ACD平面BDE参考答案:C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由直线AB直线CD不成立,知A错误;由直线AB平面BCD不成立,知B错误;由平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDE,知C正确;由平面ABD平面BCD不成立,知D错误【解答】解:由题意知DCBE,ABBE=E,直线AB直线CD不成立,故A错误;ACAB,AB与BC不垂直,直线AB平面BCD不成立,故B错误;BEDE,BEAC,AC平面BDE,平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDE,故C正确;平面ABD平面BCD不成立,故D错误故选:C【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,是中档题3. 下面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )AB C D参考答案:C设被污损的数字为a(0a9且aN),则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88899091928383879990a,解得8a,即得0a7且aN,甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P 4. 与函数相等的函数是( )A B C D参考答案:C略5. 若,满足约束条件,则的最大值是( )A B C D参考答案:C6. 如果数据的平均数是 x ,方差是,则的平均数和方差分别是 A.与 B.2 3 和C. 2 3 和 4 D. 23 和 412S参考答案:C7. “龟兔赛跑”故事中有这么一个情节:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.如果用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图中与该故事情节相吻合的是 ( )参考答案:B8. 设全集,则 ( ) A B C D 参考答案:B9. 下列集合中,表示同一个集合的是 ( )A、M=,N= B、M=,N=C、M=,N= D、M=,N=参考答案:B略10. 下表是降耗技术改造后,生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)之间的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出关于的线性回归方程,那么表中的值为( )34562.544.5A. 4 B. 3.15 C. 4.5 D. 3参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在边长为1的菱形ABCD中(如右图),|EA|=3|ED|,|AF|=|FB|,|BC|=3|BG|,=m,则= ;参考答案:12. 一个长方体的长宽高分别为2cm,2cm, cm,它的顶点都在球面上,则球的体积是参考答案: cm3【考点】球的体积和表面积【专题】计算题;方程思想;综合法;立体几何【分析】长方体的对角线就是外接球的直径,求出长方体的对角线长,即可求出球的半径【解答】解:由题意长方体的对角线就是球的直径,所以长方体的对角线长为: =4,所以球的直径为:4;半径为:2,所以球的体积是=cm3故答案为: cm3【点评】本题是基础题,考查长方体的外接球的半径的求法,考查计算能力,比较基础13. 函数的定义域为参考答案:(,【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数的解析式,列出不等式求出解集即可【解答】解:函数,80,可化为213x23,即13x3,解得x,f(x)的定义域为(,故答案为:(,14. 如图,程序执行后输出的结果为 参考答案:略15. 已知实数x,y满足则目标函数的最大值是_,满足条件的实数x,y构成的平面区域的面积等于_参考答案: (1). 2 (2). 2;【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性目标函数的最值求法,进行求解即可【详解】作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)由得平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大由,解得,代入目标函数得即目标函数的最大值为2点时,同理,满足条件的实数,构成的平面区域的面积等于:【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的求解方法平移法的应用,以及三角形面积的求法。16. 已知二次函数的两个零点为1和n,则n= ;若,则a的取值范围是 .参考答案: 3 , 5,317. 对于nN*,将n表示为na03ka13k1a23k2ak131ak30,当i0时,ai1或2,当1ik时,ai为0或1或2.记I(n)为上述表示中ai为0的个数(例如:1130,20232031230,故I(1)0,I(20)1),则I(55)_参考答案:2三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 的三个内角所对的边分别为,向量,且(1)求的大小;(2)现在给出下列三个条件:;,试从中再选择两个条件以确定,求出所确定的的面积 参考答案:略19. (14分)已知连续不断函数f(x)=cosxx,x(0,),g(x)=sinx+x,x(0,),h(x)=xsinx+x,x(0,)(1)证明:函数f(x)在区间(0,)上有且只有一个零点;(2)现已知函数g(x),h(x)在(0,)上单调递增,且都只有一个零点(不必证明),记三个函数f(x),g(x),h(x)的零点分别为x1,x2,x3求证:x1+x2=;判断x2与x3的大小,并证明你的结论参考答案:考点:函数零点的判定定理;函数单调性的性质 专题:函数的性质及应用分析:(1)由零点存在性定理知f(x)在区间(0,)上有零点,运用单调性定义证明;f(x)在(0,)上是单调递减函数(2)将其变形为:cos(x2)(x2)=0,即f(x2)=0,在(0,)上有唯一零点,从而有x2=x1,x1+x2=,)因为x2是g(x)的零点,所以有sinx2+x2=0,)判断x2x3,运用零点存在性定理和定义判断证明即可解答:(1)先证明f(x)在区间(0,)上有零点:由于f(0)=10,f()=,由零点存在性定理知f(x)在区间(0,)上有零点,再证明f(x)在(0,)上是单调递减函数:设0x1x2,f(x1)f(x2)=(cosxxx1)(cosx2x2)=(cosx1cosx2)(x1x2)由于y=cosx在(0,)上递减,所以cosx1cosx20又(x1x2)0从而f(x1)f(x2),即f(x)在(0,)上是单调递减函数故函数f(x)在(0,)有且只有一个零点,(2)因为x2是g(x)的零点,所以有sinx2+x2=0,将其变形为:cos(x2)(x2)=0,即f(x2)=0,从而有f(x2)=f(x1)=0,又因为x2,x1(0,),且由(1)的结论f(x)在(0,)上有唯一零点,从而有x2=x1,x1+x2=,)判断x2x3,证明如下:由于h(0)=0,h(1)=sin1=1sin=+1,由零点存在性定理和已知得0x31,从而有 0=x3sinx3+x3sinx3+x3=g(x3),g(x2)=0所以有g(x2)g(x3),又由已知g(x)在(0,)上单调递增,所以x2x3点评:本题综合考查了函数的性质,零点问题,分类转化,不等式问题,综合性较强,难度较大,属于难题20. (本小题满分13分)如图,有一块矩形草地,要在这块草地上开辟一个内接四边形建体育设施(图中阴影部分),使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知ABa(a2),BC2,且AEAHCFCG,设AEx,阴影部分面积为y.(1)求y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;(2)当x为何值时,阴影部分面积最大?最大值是多少?参考答案:(1)SAEHSCFGx2,SBEFSDGH(ax)(2x)。 ySABCD2SAEH2S
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