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2022年北京海淀外国语实验学校高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知集合Ax|x24x30,Bx|yln(x2),则(?RB)A()Ax|2x1 Bx|2x2 Cx|1x2 Dx|x2参考答案:C2. 下列选项叙述错误的是 ( ) A命题“若”的逆否命题是“若” B若命题 C若为真命题,则p,q均为真命题 D“”是“”的充分不必要条件参考答案:C略3. 设向量=(x1,x),=(x+2,x4),则“”是“x=2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案:B【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】,可得?=0,解出即可得出【解答】解:,(x1)(x+2)+x(x4)=0,化为:2x23x2=0,解得x=或2“”是“x=2”的必要不充分条件故选:B4. 已知向量,其中的夹角是( )A B C D参考答案:A 5. 函数在区间()内的图象是( )参考答案:D6. 数列an的通项公式,其前n项和为Sn,则S2012等于 A.1006 B.2012 C.503 D.0参考答案:A因为函数的周期是4,所以数列的每相邻四项之和是一个常数2,所以.故选A.7. 如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2(y2)21上,则|PQ|的最小值为()A. B.1C21 D.1参考答案:A略8. 已知集合则 ( )A B C D参考答案:C9. 是异面直线,是异面直线,则的位置关系是( )A相交、平行或异面 B相交或平行 C异面 D平行或异面参考答案:答案:A 10. 平行四边形中,点为中点,连接且交于点.若,则( )A. B. C. D.参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=(2x1)3的图象在(0,1)处的切线的斜率是_参考答案:6考点:利用导数研究曲线上某点切线方程专题:导数的概念及应用分析:求得函数的导数,由导数的几何意义,将x=0代入即可得到所求切线的斜率解答:解:函数y=(2x1)3的导数为y=6(2x1)2,即有图象在(0,1)处的切线的斜率是6(1)2=6故答案为:6点评:本题考查导数的运用:求切线的斜率,理解导数的几何意义和正确求导是解题的关键12. 已知是定义在上且周期为的函数,当时,.若函数在区间上有个零点(互不相同),则实数的取值范围是_.参考答案:略13. 方程2xx23的实数解的个数为_参考答案:214. 在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知。若,则_.参考答案:略15. 设全集,若,则集合B=_.参考答案:2,4,6,8解析:16. 已知抛物线的焦点为,准线与y轴的交点为为抛物线上的一点,且满足,则的取值范围是参考答案:略17. 某高中共有学生900人,其中高一年级240人,高二年级260人,为做某项调查,拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本,则在高三年级抽取的人数是 _参考答案:20高三的人数为400人,所以高三抽出的人数为人。三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分8分)如图,矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成A1DE(1)当平面A1DE平面BCD时,求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值;(2)设M为线段A1C的中点,求证:在ADE翻转过程中,BM的长度为定值参考答案:【答案解析】(1) (2) 解析:(1)由矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为边AB的中点,可得ED2=22+22=8=CE2,CD2=42=16,CE2+ED2=CD2,CED=90,CEED又平面A1DE平面BCD,CE平面A1DE,CEDA1又DA1A1E,A1EEC=E,DA1平面A1CE,A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角在RtA1CD中,sinA1CD= .3分(2)如图所示,由(1)可知:CE平面A1ED,A1ED为A1ECD的二面角的平面角,且为45取CE的中点O,连接BO、MO,由三角形的中位线定理可知:MOAE,=1,MOCE;在等腰RtEBC中,CO=OE=,则BOCE,MOB为二面角MECB的平面角;由图形可知:二面角A1ECD与二面角MECB互补,因此二面角MECB的平面角为135又OB=,在MOB中,由余弦定理可得MB2=5.8分.【思路点拨】求直线与平面所成的角一般先利用定义寻求出其平面角,再利用三角形求解,对于翻折问题,注意翻折前后的垂直的对应关系及长度的对应关系.19. (本题满分12分)如图,中, ,在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上,半圆与、分别相切于点、,与交于点),将绕直线旋转一周得到一个旋转体。(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积参考答案:解(1)连接,则, 3分设,则,又,所以,6分所以, 8分(2)12分略20. 设f(x)=(ax+b)e2x,曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线方程为x+y1=0()求a,b;()设g(x)=f(x)+xlnx,证明:当0x1时,2e2e1g(x)1参考答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】转化思想;综合法;导数的概念及应用;不等式的解法及应用【分析】()求出f(x)的导数,由切线的方程可得f(0)=1,f(0)=1,解方程可得a=b=1;()g(x)=f(x)+xlnx=(x+1)e2x,由h(x)=xlnx,求得导数,求出单调区间,可得最小值;再由f(x)的单调性可得f(x)的范围,结合x趋向于0,可得g(x)1,即可得证【解答】解:()f(x)=(ax+b)e2x的导数为f(x)=(a2b2ax)e2x,由在(0,f(0)处的切线方程为x+y1=0,可得f(0)=1,f(0)=1,即为b=1,a2b=1,解得a=b=1;()证明:g(x)=f(x)+xlnx=(x+1)e2x,由h(x)=xlnx的导数为y=1+lnx,当x时,h(x)0,函数h(x)递增;当0x时,h(x)0,函数h(x)递减即有x=处取得最小值,且为e1;f(x)的导数为(12x)e2x,当0x1时,f(x)0,f(x)递减,可得f(x)f(1)=2e2;则g(x)2e2e1;由x0时,g(x)1,则有g(x)1,综上可得,当0x1时,2e2e1g(x)1【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,考查不等式的证明,注意运用函数的最值的性质和极限的思想,属于中档题21. 已知抛物线与双曲线有公共焦点,点是曲线在第一象限的交点,且( I )求双曲线的方程;( II )以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切,圆:过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和,设被圆截得的弦长为,被圆截得的弦长为,问:是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由参考答案:略22. (本小题满分12分)如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,ABC=60,沿对角线AC折叠,使D点在面ABC内的射影恰好落在AC上,若PBABC,且PB= (I)求证:DBAC; ()求面PCD与面ABC所成二面角的正切值。参考答案:
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