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辽宁省沈阳市中心校高三数学理月考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知,则( )A B C. D或参考答案:B2. 若函数f(x)=的定义域为实数集R,则实数a的取值范围为()A(2,2)B(,2)(2,+)C(,22,+)D2,2参考答案:D【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数的定义域为R,将条件转化为x2+ax+10恒成立,利用判别式之间的关系即可得到结论【解答】解:函数f(x)=的定义域为实数集R,则x2+ax+10恒成立,即=a240,解得2a2,即实数a的取值范围是2,2,故选:D3. 四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图),第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,这样交替进行下去,那么第202次互换座位后,小兔坐在第 号座位上 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4参考答案:B4. 一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( ) A B C D参考答案:C略5. 集合,则AB等于( )A1,2 B0,1,2 C1,2,3 D0,1,2,3 参考答案:A由题设知, ,所以, 故选:A6. 设在处可导,且1,则 ( ) A.1 B.0C.3 D.参考答案:C略7. 一个算法的程序框图如上图所示,若该程序输出的结果为10,则判断框中应填入的条件是 A B C D 参考答案:B8. 已知复数z=,则z=()A1iB1+iC2+2iD22i参考答案:A【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题;规律型;数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解:复数z=1i故选:A【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,考查计算能力9. 对于任意实数a,b,c,d,以下四个命题中ac2bc2,则ab; 若ab,cd,则a+cb+d;若ab,cd,则acbd; ab,则其中正确的有()A1个B2个C3个D4个参考答案:B【考点】不等式的基本性质【专题】不等式的解法及应用【分析】由不等式的性质,逐个选项验证可得【解答】解:选项ac2bc2,则ab正确,由不等式的性质可得; 选项若ab,cd,则a+cb+d正确,由不等式的可加性可得;选项若ab,cd,则acbd错误,需满足abcd均为正数才可以; 选项ab,则错误,比如12,但故选:B【点评】本题考查不等式的性质,属基础题10. 如图,网格之上小正方形的边长为1,粗线画出的是某空间几何体的三视图,若该几何体的体积为20,则该几何体的表面积为( )A72B78C66D62参考答案:A考点:三视图,体积与表面积二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知当a=1时,f(x)=3,则x= ;当a1时,若f(x)=3有三个不等实数根,且它们成等差数列,则a= 参考答案:4,【考点】分段函数的应用【分析】当a=1时,f(x)=3,利用分段函数建立方程,即可求出x的值;由f(x)=3,求得x=1,或 x=4,根据x1x2x3,且它们依次成等差数列,可得a1,f(6)=3,由此求得a的值【解答】解:x1,x=3,可得x=4;x1,2(x+)=3,即x2+x+4=0无解,故x=4;由于当xa时,解方程f(x)=3,可得x=3,求得x=1,或 x=4x1x2x3,且它们依次成等差数列,x2=1,x3=4,x1 =6,a1xa时,方程f(x)=3只能有一个实数根为6,再根据f(6)=2a+6+=3,求得a=,满足a1故答案为4,【点评】本题主要考查分段函数,利用函数的单调性求函数的最值,等差数列的性质,体现了分类讨论以及转化的数学思想,属于中档题12. (理)函数的最大值和最小值分别为,则_参考答案:略13. 关于x的方程k?4xk?2x+1+6(k5)=0在区间0,1上有解,则实数k的取值范围是参考答案:5,6【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】换元:令t=2x,则t1,2,原方程化为k?t22k?t+6(k5)=0,根据题意,问题转化为此方程在1,2上有零点,根据二次函数零点的判定方法即可求得结论【解答】解:令t=2x,则t1,2,方程k?4xk?2x+1+6(k5)=0,化为:k?t22k?t+6(k5)=0,根据题意,此关于t的一元二次方程在1,2上有零点,整理,得:方程k(t22t+6)=30,当t1,2时存在实数解,当t1,2时存在实数解t22t+6=(t1)2+55,6故答案为5,614. 已知,则cos 2 参考答案:15. 若,满足约束条件则的最大值为_ _参考答案:916. 设函数则满足的的取值范围是 参考答案:(0,+)17. 如图所示的程序框图输出的结果为_.参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满 分12分)已知椭圆的短轴长为单位圆 的直径,且椭圆的离心率为()求椭圆的方程;()过椭圆短轴的上顶点作直线分别与单位圆和椭圆交于两点(两点均在轴的右侧),设为椭圆的短轴的下顶点,求的最大值参考答案:()由题知,又,得,椭圆的方程为4分19. (满分12分)如图,在四棱锥中,平面平面为的中点.(1)证明:(2)求二面角的余弦值. 参考答案:解:(1)联结因为为的中点,所以又平面平面交线为平面所以又所以(5分)(2)取线段的中点因为所以由(1)知, 故可以为原点, 射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系则(6分)于是设平面的一个法向量为由得令得(8分)设平面的法向量为由得令得(10分)所以易知二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为(12分)20. (本小题满分12分)在等腰梯形ABCD中,ADBC,ADBC,ABC60,N是BC的中点,将梯形ABCD绕AB旋转90,得到梯形ABCD(如图)(1)求证:AC平面ABC;(2)求证:CN平面ADD;(3)求二面角ACNC的余弦值参考答案:解析:(1)证明:,N是BC的中点,ADNC,又ADBC,四边形ANCD是平行四边形,ANDC,又ABC60,ABBNAD,四边形ANCD是菱形,BAC90,即ACAB,又平面CBA平面ABC,平面CBA平面ABCAB,AC平面ABC(3分)(2)证明:ADBC,ADBC,ADADA,BCBCB,平面ADD平面BCC,又CN平面BCC,CN平面ADD(6分)(3)解:AC平面ABC,AC平面ABC如图建立空间直角坐标系,设,设平面CNC的法向量为n(x,y,z)取z1,则AC平面ABC,平面CAN平面ABC,又BDAN,平面CAN平面ABCAN,BD平面CAN,BD与AN交于点O,O则为AN的中点,平面CAN的法向量,由图形可知二面角ACNC为钝角,所以二面角ACNC的余弦值为(12分)21. 设数列an,对任意nN*都有(kn+b)(a1+an)+p=2(a1+a2+an),(其中k、b、p是常数)(1)当k=0,b=3,p=4时,求a1+a2+a3+an;(2)当k=1,b=0,p=0时,若a3=3,a9=15,求数列an的通项公式;(3)若数列an中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”当k=1,b=0,p=0时,设Sn是数列an的前n项和,a2a1=2,试问:是否存在这样的“封闭数列”an,使得对任意nN*,都有Sn0,且若存在,求数列an的首项a1的所有取值;若不存在,说明理由参考答案:解:(1)当k=0,b=3,p=4时,3(a1+an)4=2(a1+a2+an),用n+1去代n得,3(a1+an+1)4=2(a1+a2+an+an+1),得,3(an+1an)=2an+1,an+1=3an,(2分)在中令n=1得,a1=1,则an0,数列an是以首项为1,公比为3的等比数列,a1+a2+a3+an=(2)当k=1,b=0,p=0时,n(a1+an)=2(a1+a2+an),用n+1去代n得,(n+1)(a1+an+1)=2(a1+a2+an+an+1),得,(n1)an+1nan+a1=0,(6分)用n+1去代n得,nan+2(n+1)an+1+a1=0,得,nan+22nan+1+nan=0,即an+2an+1=an+1an,数列an是等差数列a3=3,a9=15,公差,an=2n3(3)由(2)知数列an是等差数列,a2a1=2,an=a1+2(n1)又an是“封闭数列”,得:对任意m,nN*,必存在pN*使a1+2(n1)+a1+2(m1)=a1+2(p1),得a1=2(pmn+1),故a1是偶数,又由已知,故一方面,当时,Sn=n(n+a11)0,对任意nN*,都有另一方面,当a1=2时,Sn=n(n+1),则,取n=2,则,不合题意当a1=4时,Sn=n(n+3),则,当a16时,Sn=n(n+a11)n(n+3),又,a1=4或a1=6或a1=8或a1=10略22. (理)已知(1)若,求实数m的取值范围;(2)是否存在实数m,使得“”是“”的充要条件,若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案
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