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2022-2023学年四川省乐山市峨边民族中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 若是(0+)上的减函数,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案:D【分析】分别考虑,时,的导数,由导数小于等于0恒成立,可得a的范围;再由函数的连续性,可得,解不等式可得所求范围【详解】解:当时,的导数为,由题意可得,即在恒成立,可得,由时,的导数为,由,解得或在恒成立,即有,由为上的减函数,可得,即为,可得由可得a的范围是故选:D【点睛】本题考查函数的单调性的定义和应用,考查导数的运用:求单调性,考查转化思想和运算能力,属于中档题2. 6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A. 144B. 120C. 72D. 24参考答案:D试题分析:先排三个空位,形成4个间隔,然后插入3个同学,故有种考点:排列、组合及简单计数问题3. 设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,且m?,n?,下列命题中正确的是()A若,则mnB若,则mnC若mn,则D若n,则参考答案:D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系【分析】对4个命题分别进行判断,即可得出结论【解答】解:对于A,若,则m、n位置关系不定,不正确;对于B,若,则mn或m,n异面,不正确;对于C,若mn,则、位置关系不定,不正确;对于D,根据平面与平面垂直的判定可知正确故选D4. 已知物体的运动方程为st2(t是时间,s是位移),则物体在时刻t2时的速度为( )参考答案:D略5. 设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:(1); (2);(3); (4); 其中正确命题的序号是 ( )A(1)(2) B(2)(3) C(3)(4) D(1)(4)参考答案:A6. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比4000大的偶数共有A. 144个 B. 120个 C. 96个 D. 72个参考答案:B7. 设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A(1,3)B(1,4)C(2,3)D(2,4)参考答案:D【考点】抛物线的简单性质;直线与圆的位置关系【专题】综合题;创新题型;开放型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先确定M的轨迹是直线x=3,代入抛物线方程可得y=2,所以交点与圆心(5,0)的距离为4,即可得出结论【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),斜率存在时,设斜率为k,则y12=4x1,y22=4x2,则,相减,得(y1+y2)(y1y2)=4(x1x2),当l的斜率存在时,利用点差法可得ky0=2,因为直线与圆相切,所以=,所以x0=3,即M的轨迹是直线x=3将x=3代入y2=4x,得y2=12,M在圆上,r2=,直线l恰有4条,y00,4r216,故2r4时,直线l有2条;斜率不存在时,直线l有2条;所以直线l恰有4条,2r4,故选:D【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题8. 三点(3,10),(7,20),(11,24)线性的回归方程是 A. B. C. D. 参考答案:B略9. 在中,a=15,b=10,A=,则= A B C D参考答案:D略10. 6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A. 24 B72 C120 D144 参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数(,为常数),当时,函数有极值,若函数有且只有三个零点,则实数的取值范围是 参考答案:12. 已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于_参考答案:313. 已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的取值范围为 参考答案:大于等于4略14. 直角三角形ABC中,两直角边分别为a,b,则ABC外接圆面积为类比上述结论,若在三棱锥ABCD中,DA、DB、DC两两互相垂直且长度分别为a,b,c,则其外接球的表面积为_参考答案:【分析】直角三角形外接圆半径为斜边长的一半,由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为,将三棱锥补成一个长方体,其外接球的半径为长方体体对角线长的一半。【详解】由类比推理可知:以两两垂直的三条侧棱为棱,构造棱长分别为的长方体,其体对角线就是该三棱锥的外接球直径,则半径所以表面积【点睛】本题考查类比推理的思想以及割补思想的运用,考查类用所学知识分析问题、解决问题的能力,属于基础题。15. 某三棱锥的三视图如图所示,则其外接球的表面积为_参考答案:16. 双曲线的离心率,则实数的取值范围是 参考答案:(0,12 )略17. 右焦点坐标是(2,0),且经过点(2,)的椭圆的标准方程为 参考答案:+=1【考点】椭圆的简单性质 【专题】方程思想;待定系数法;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆方程为+=1(ab0),由题意可得c=2,结合a,b,c的关系和点(2,)代入椭圆方程,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程【解答】解:设椭圆方程为+=1(ab0),由题意可得c=2,即有a2b2=4,代入点(2,),可得+=1,解得a=2,b=2即有椭圆方程为+=1故答案为:+=1【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用待定系数法,考查运算能力,属于基础题三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 设椭圆C:的左焦点为,上顶点为,过点作垂直于的直线交椭圆C于另外一点,交x轴正半轴于点, 且 (1)求椭圆C的离心率; (2)若过、三点的圆恰好与直线l:相切,求椭圆C的方程. 参考答案:整理得2b2=3ac,即2(a2c2)=3ac,,故椭圆的离心率e-7分所以,解得a=2,c=1,b=,所求椭圆方程为-13分19. 设集合M=x|x|1,在集合M中定义一种运算“*”,使得()证明:(a*b)*c=a*(b*c);()证明:若aM,bM,则a*bM参考答案:【考点】46:有理数指数幂的化简求值【分析】()利用新定义推导出(a*b)*c=,a*(b*c)=,由此能证明(a*b)*c=a*(b*c)()要证a*bM,只需证:,即证,由此能证明若aM,bM,则a*bM【解答】证明:()集合M=x|x|1,在集合M中定义一种运算“*”,使得,a*(b*c)=a*()=,(a*b)*c=a*(b*c)(6分)()由已知得:|a|1,|b|1,要证a*bM,只需证:,即证,即:,而,有(a21)(b21)0,若aM,bM,则a*bM(12分)【点评】本题考查等式的证明和集合中元素的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意新定义的合理运用20. (本题满分13分)在ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=60.(1)若ABC的面积等于,求a,b;(2)若sinB=2sinA,求ABC的面积.参考答案:解:(1),ab=4,又由余弦定理得, ,a2+b2=8, 而(a+b)2= a2+b2+2ab=16,a+b=4,a=2,b=2.(2)由sinB =2sinA, 得b=2a,又由余弦定理得, ,6a28=0,解得,故所求ABC的面积为.21. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线,曲线.(I)求曲线C1及C2的直角坐标方程;(II)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上的点的距离最大值.参考答案:解:(I)由得,即由得:C1的直角坐标方程为C2的直角坐标方程为.6分(II)点(2,0)到直线的距离点P到C2上点的距离最大值为.12分22. 已知函数,其中,e是自然对数的底数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)求函数的单调减区间;参考答案:(1) .(2)见解析.【分析】(1)由时,可得,求得和,利用直线的点斜式方程,即可求解.(2)由函数,求得,分类讨论,即可求解函数的单调区间.【详解】(1)由题意,当时,可得,所以.又由,所以,即切线斜率为,所以切线方程为,即.(2)由函数,则,当时,函数单调递增,所以无单调减区间;当即时,列表如下:-2+0-0+极大值极小值所以的单调减区间是.当即时,列表如下:-2+0-0+极大值极小值所以的单调减区间是.综上,当时,无单调减区间;当时,的单调减区间是;当时,的单调减区间是.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程,以及利用导数求解函数的单调区间,其中解答中熟记导数的几何意义,以及导数与函数的单调性的关系,合理分类讨论是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
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