浙江省杭州市秋涛中学2022-2023学年高三数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若，则（ ）A. 30B. 45C. 60D. 75参考答案：C【分析】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，故，即.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.2. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF的斜率为，则|PF|=（）AB6C8D16参考答案：C【考点】抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长【解答】解：抛物线方程为y2=8x，焦点F（2，0），准线l方程为x=2，直线AF的斜率为，直线AF的方程为y=（x2），由，可得A点坐标为（2，4），PAl，A为垂足，P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），|PF|=|PA|=6（2）=8，故选C3. 设函数f（x）=x3+bx+c，是方程f（x）=0的根，且f（）=0，当01时，关于函数g（x）=x3x2+（b+2）x+（cb+）lnx+d在区间（+1，+1）内的零点个数的说法中，正确的是（）A至少有一个零点B至多有一个零点C可能存在2个零点D可能存在3个零点参考答案：B【考点】函数零点的判定定理【分析】由题意可得f（x）=x3+bx+c=（x）（x）2，进一步得到+2=0，2+2=b，2=c，且x（2，），把函数g（x）求导，用，表示b，c，二次求导可得在区间（+1，+1）内h（x）0，则答案可求【解答】解：，是方程f（x）=0的根，且f（）=0，f（x）=x3+bx+c=（x）（x）2，即得+2=0，2+2=b，2=c，且x（2，），由01，得0，0，则g（x）=x23x+（b+2）+=，令h（x）=x33x2+（b+2）x+cb+=x33x2+（232）x+23+322=（x1）3（1+32）（x1）+222，则h（x）=3（x1）2（32+1），当x（2+1，+1）时，h（x）h（2+1）=（3+1）（31）0h（x）在（+1，+1）上为减函数，而h（2+1）=83+2（32+1）+（232）=0，当x（2+1，+1）时，h（x）h（2+1）=0，即当x（2+1，+1）时，h（x）0，g（x）在（+1，+1）上为减函数，至多有一个零点故选：B4. 在中，,，则面积为A B C D参考答案：B略5. 函数是(A)最小正周期为的奇函数 (B) 最小正周期为的偶函数 (C) 最小正周期为的奇函数 (D) 最小正周期为的偶函数参考答案：B.因为，所以函数是最小正周期为的偶函数.6. 如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、 K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心. 从K、H、G、B中取一点作为P， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为 （ ）AK BH CG DB参考答案：答案：C7. 若互不相等的实数a,b,c成等差数列，ca,ab,bc成等比数列，且（ ） A8 B4 C4 D8参考答案：答案：D 8. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角A的值为（ ）A B C. D参考答案：C在，因为由正弦定理可化简得，所以，由余弦定理得，从而，故选C.9. 已知为全集，都是的子集，且，则（ ） （A） （B）（C） （D）参考答案：D10. 若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（ ）A点B线段C圆弧D抛物线的一部分参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个三位数字的密码键,每位上的数字都在到这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为_参考答案： 解析：12. 如图，已知ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若 ，则m+n=参考答案：【考点】向量在几何中的应用【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量加减法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，这样便可得出m+n的值【解答】解：根据条件，=；又；故答案为：13. 已知（为常数），在上有最小值3，那么在上的最大值是_参考答案：考点：导数与最值.14. 已知集合，则 参考答案：15. 已知等比数列an满足，且，则_参考答案：8【分析】先求出的值，再求的值.【详解】，则2故答案为：8【点睛】本题主要考查等比中项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16. 表示不超过的最大整数，若函数，当时，有且仅有3个零点，则的取值范围为 .参考答案：17. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为 参考答案：10【考点】简单线性规划 【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y+1对应的直线进行平移，由此可得当x=3，y=1时，目标函数取得最大值为10【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（3，1），B（0，2），C（0，2）设z=F（x，y）=2x+3y+1，将直线l：z=2x+3y+1进行平移，当l经过点A（3，1）时，目标函数z达到最大值z最大值=F（3，1）=10故答案为：10【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y+1的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆C：（ab0）过点（，1），且焦距为2（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+1）（k2）与椭圆C相交于不同的两点A、B，线段AB的中点M到直线2x+y+t=0的距离为，求t（t2）的取值范围参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由c=，则a2b2=2，将点代入椭圆方程，联立即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，利用点到直线的距离公式，根据k及t的取值范围，利用基本不等式的性质，即可求得t的取值范围【解答】解：（1）由2c=2，c=，则a2b2=2，将点（，1）代入椭圆方程：，解得：a2=4，b2=2，椭圆的标准方程：；（2）A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），整理得：（2k2+1）x2+4k2x+2k24=0，则x1+x2=，则x0=，y0=k（x0+1）=，由M到直线2x+y+t=0的距离， =，则丨+t2丨=3，由k2及t2，则t=5=5，由6，5t5，即4t5，t（t2）的取值范围4，5）19. （本题12分）已知集合，集合，集合（1）求从集合中任取一个元素是（3，5）的概率；（2）从集合中任取一个元素，求的概率；（3）设为随机变量，写出的分布列，并求.参考答案：解：（1）设从中任取一个元素是（3，5）的事件为B，则 所以从中任取一个元素是（3，5）的概率为 （4分）（2）设从中任取一个元素，的事件为，有 （4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6） （4分） 则P（C）=，所以从中任取一个元素的概率为（3）可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的分布列为23456789101112 （4分）20. （12分）（2015?兰山区校级二模）设数列an为等差数列，且a5=14，a7=20，数列bn的前n项和为Sn，b1=且3Sn=Sn1+2（n2，nN）（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若cn=an?bn，n=1，2，3，求数列cn的前n项和Tn参考答案：【考点】： 数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）由已知条件利用等差数列的性质，求出首项和公差，由此能求出an=3n1由3Sn=Sn1+2（n2，nN），得3Sn=Snbn+2，即bn=22Sn，由此能求出bn=2?（）由cn=an?bn=2（3n1）?，利用错位相减法能求出数列cn的前n项和Tn解：（）数列an为等差数列，且a5=14，a7=20，公差d=（a7a5）=3，a1+43=14，解得a1=2，an=2+（n1）3=3n1（1分）由3Sn=Sn1+2（n2，nN），得3Sn=Snbn+2，即bn=22Sn，b2=2（b1+b2），又b1=，b2=，=，（2分）由3Sn=Sn1+2，当n3时，得3Sn1=Sn2+2，两式相减得：3（SnSn1）=Sn1Sn2，即3bn=bn1，=（n3）（4分）又 =，bn是以b1=为首项，为公比的等比数列，