2022年江西省赣州市第七中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是公比大于1的等比数列，为的前q项和.已知，且构成等差数列，则=A. 15 B. 16 C 31 D. 32参考答案：C2. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是 （）A、 B、 C、 D、参考答案：A略3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（） A. B. C. D. 参考答案：D4. 已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）ABCD4参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积求出的值，再求其模即可【解答】解：，故选A5. 已知“命题p：”为真命题，则实数a的取 值范围是( )A. B. C. D.参考答案：B略6. 已知，则的值是 .参考答案：略7. 如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A7cm2B8cm2C9cm2D11cm2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积 【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，分别计算各个面的面积，累加可得答案【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，圆柱的底面直径与半球的直径均为2，圆柱的高为3，故圆柱的底面面积为=，来源:学科网ZXXK圆柱的侧面积为：23=6，半球面面积为：4=2，来源:学科网故该几何体的表面积S=+6+2=9，故选C【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键8. 如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A10B11C12D13参考答案：C【考点】三角形中的几何计算【分析】设正ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解【解答】解：设正ABC的边长为x，则高为x，SABC=x?x=x2，所分成的都是正三角形，结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x，较短的对角线为（x）=1；黑色菱形的面积S=（x）（1）=（x2）2，若m：n=47：25，则=，解可得x=12或x=（舍），所以，ABC的边长是12；故选：C【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程9. 已知，则等于A0 B4 C2 D2参考答案：B10. 一个几何体的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于( ) ABC2D参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为 （用数字作答）参考答案：72012. 定义：表示大于或等于的最小整数（是实数）若函数，则函数的值域为_. 参考答案：13. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，则侧面与底面所成二面角的余弦值为_参考答案：14. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角，以及，从点测得，已知山高，则山高 参考答案：试题分析:设山高,则由题设,在中,由正弦定理可得,解之得,故应填答案.考点：正弦定理及解直角三角形的有关知识及综合运用15. 已知直线与圆相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为 .参考答案：或.为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于，即，解得或.16. 已知，为的共轭复数，若（是虚数单位），则 参考答案：，17. 在ABC中，2sin2=sinA，sin（BC）=2cosBsinC，则=参考答案：【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用【分析】利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc，将sin（BC）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论【解答】解：2sin2=sinA，1cosA=sinA，sin（A+）=，又0A，所以A=由余弦定理，得a2=b2+c2+bc，将sin（BC）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b?=3?c，即2b22c2=a2，将代入，得b23c2bc=0，左右两边同除以c2，得3=0，解得=，所以=故答案为：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数（1）当a=2时，解不等式（2）若a0，且对于任意实数x都有，求a的取值范围参考答案：解：(1) 当a=2时， 化为两边平方得：解得（2）19. 在四棱锥PABCD中,ABCACD90,BACCAD60,PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2（1）若F为PC的中点，求证：PC平面AEF； （2）求四棱锥PABCD的体积V.参考答案：（1）PACA，F为PC的中点，AFPC PA平面ABCD，PACDACCD，PAACA，CD平面PACCDPCE为PD中点，F为PC中点，EFCD则EFPC AFEFF，PC平面AEF （2）在RtABC中，AB1，BAC60，BC，AC2在RtACD中，AC2，CAD60，CD2，AD4SABCD 则V略20. （12分）已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对，都有.参考答案：（1）当时，函数，定义域为，.令可得，令可得.所以的单调增区间为，单调减区间为.3分（2），.当时，.故在区间上递增，所以，从而在区间上递增.所以对一切恒成立.当时，.当时，当时，.所以时，.而，故.所以当时，递减，由，知，此时对一切不恒成立.当时，在区间上递减，有，从而在区间上递减，有.此时对一切不恒成立.综上，实数a的取值范围是.9分（3）由（2）可知，取，当时，有.取，有，即.所以，所以.12分21. 已知函数.（）当时，求的最大值；（）若对恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（）1；（）【分析】（）当时求出的单调性，根据单调性即可求出最大值。（）求出的单调性。当时，单调递增；当时，单调递减，所以，再判断出的单调性即可。【详解】（）当时，定义域为.令，得.当时，单调递增，当时，单调递减所以.（），.令，得.当时，单调递增；当时，单调递减，所以.依题意有，设，则，所以在上单调递增.又，故，即实数的取值范围为.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求最值、求含参数的范围、恒成立的问题。是高考中的必考点，也是高考中的压轴题。在解答时应该仔细审题。22. 如图，是的直径， ,为上的点，是的角平分线，过点作交的延长线于,垂足为点.（）求证：是的切线;（）求证：.参考答案：