湖南省长沙市雨花外国语学校高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在正方体中，M、N分别为棱和中点，则异面直线CM与所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 参考答案：答案：B 2. 若集合，且，则集合可能是（ ）A B C D参考答案：A3. 圆心在抛物线上，且与该抛物线的准线和轴都相切的圆的方程是（ ）ks5uA. B.C. D. ks5u参考答案：B 4. 已知数列的前项和，是等比数列的充要条件是A. B C. D.参考答案：D5. 若实数x，y满足，则使得z=y2x取得最大值的最优解为（）A（3，0）B（3，3）C（4，3）D（6，3）参考答案：C【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由z=y2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最值，由，解得，即A（4，3），即z=y2x取得最大值的最优解为（4，3）故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法6. 已知集合,集合,则A. B. C. D.参考答案：A7. 已知a，b为正实数，且+=2，若a+bc对满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围是（）A（， +B（，3C（，6D（，3+2参考答案：A【考点】基本不等式【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质可得a+b的最小值，即可得出【解答】解：a，b为正实数，且+=2，a+b=（a+b）=，当且仅当b=a=时取等号a+bc对满足条件的a，b恒成立，则c+故选：A8. 2014年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积种植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是( ) (A) (13, 44) (B) (12, 44)(C) (13, 43) (D) (14, 43)参考答案：A9. 复数= 【 】 (A)2 (B)-2 (C)2i （D）-2i参考答案：.【解析】. 10. 在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AC=AB=4，且ACAB，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A4 B24 C36 D48参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设f ( x ) = x3x22x5，当时，f ( x ) 7 12. 已知函数，则函数在点处的切线方程为_. 参考答案：略13. 已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），则第80个数对是 。参考答案：（2,12）14. 已知是边长为的正三角形，且满足，则的面积为_.参考答案：略15. 已知函数若在R上为增函数，则实数的取值范围是 _参考答案：略16. 抛物线的准线方程为_.参考答案：17. 已知双曲线的一条渐近线为，则_参考答案：的渐近线为，三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 选修4-4：坐标系与参数方程选讲（10分）在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值参考答案：【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）求出圆C1的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）将圆C2化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出a【解答】解：（1）将O，A，B三点化成普通坐标为O（0，0），A（0，2），B（2，2）圆C1的圆心为（1，1），半径为，圆C1的普通方程为（x1）2+（y1）2=2，将代入普通方程得22cos2sin=0，=2sin（）（2）圆C2的参数方程为（是参数），圆C2的普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2圆C2的圆心为（1，1），半径为|a|，圆C1与圆C2外切，2=+|a|，解得a=【点评】本题考查了圆的极坐标方程与普通方程的互化，属于基础题19. 已知函数 （1）求的值； （2）求使成立的x的取值集合.参考答案：20. 设函数f（x）=alnxbx2（x0）（）若函数f（x）在x=1处与直线y=相切，求实数a、b的值；（）当b=0时，若不等式f（x）m+x对所有的a0，x（1，e2都成立（e为自然对数的底数），求实数m的取值范围参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：（）求出f（x）的导数f（x），由条件可得f（1）=且f（1）=0，列出方程，解出a，b即可；（）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即malnxx对所有的都成立，令h（a）=alnxx，则h（a）为一次函数，则mh（a）min由单调性求得最小值，即可得到m的范围解答：解：（），又函数f（x）在x=1处与直线相切，解得 （）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）m+x对所有的都成立，即malnxx对所有的都成立，令h（a）=alnxx，则h（a）为一次函数，mh（a）minx（1，e2，lnx0，上单调递增，h（a）min=h（0）=x，mx对所有的x（1，e2都成立1xe2，e2x1，则实数m的取值范围为（，e2点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，注意运用单调性，是一道中档题21. 如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处，今在道路网、处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向，处行走，直到到达，为止。（）求甲经过的概率；（）求甲、乙两人相遇经点的概率；（）求甲、乙两人相遇的概率.参考答案：解：（）甲经过到达，可分为两步：第一步：甲从经过的方法数：种；第二步：甲从到的方法数：种；所以：甲经过的方法数为；所以：甲经过的概率（）由（）知：甲经过的方法数为：；乙经过的方法数也为：；所以甲、乙两人相遇经点的方法数为： 81； 甲、乙两人相遇经点的概率（）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；所以：164甲、乙两人相遇的概率略22. 在ABC中，A=30，BC=2，点D在AB边上，且BCD为锐角，CD=2，BCD的面积为4（）求cosBCD的值；（）求边AC的长参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（）利用三角形面积公式表示出三角形BCD面积，把BC，CD以及已知面积代入求出sinBCD的值，即可确定出cosBCD的值；（）利用余弦定理列出关系式，把CD，BC，以及cosBCD的值代入求出DB的值，利用勾股定理的逆定理确定出三角形ACD为直角三角形，利用含30度直角三角形的性质求出AC的长即可【解答】解：（）BC=2，CD=2，SBCD=BC?CD?sinBCD=4，sinBCD=BCD为锐角，cosBCD=；（）在BCD中，CD=2，BC=2，cosBCD=，由余弦定理得：DB2=CD2+BC22CD?BC?cosBCD=4+208=16，即DB=4，DB2+CD2=BC2，CDB=90，即ACD为直角三角形，A=30，AC=2CD=4【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键