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浙江省金华市第十四中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知复数,是的共轭复数,则等于( )A.16 B.4 C.1 D. 参考答案:C2. 九章算木中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,现有一阳马,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形,该“阳马”的体积为,若该阳马的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )正视图侧视图A.8B.C.12D.24参考答案:D如图所示,由该“阳马”的体积,设该“阳马”的外接球的半径为,则该“阳马”的外接球直径为,所以,该阳马的外接球的表面积为.试题立意:本小题主要考查空间几何体与球的组合体,球与三棱锥的切接问题,三棱锥的体积公式;考查空间想象能力及分析问题解决问题的能力.3. 已知向量,向量,函数,则下列说法正确的是( )A是奇函数 B的一条对称轴为直线 C. 的最小正周期为 D在上为减函数参考答案:D ,所以 是偶函数, 不是其对称轴,最小正周期为 ,在 上为减函数,所以选D.4. 已知函数f(x)x33x,g(x)f(x),若g(lgx)g(1),则x的取值范围是A(10,) B(,10)C(0,10) D(0,)(10,)参考答案:B略5. 函数f(x)=loga(6ax)在0,2上为减函数,则a的取值范围是( )A(0,1)B(1,3)C(1,3D3,+)参考答案:B【考点】复合函数的单调性 【专题】函数的性质及应用【分析】由已知中f(x)=loga(6ax)在0,2上为减函数,结合底数的范围,可得内函数为减函数,则外函数必为增函数,再由真数必为正,可得a的取值范围【解答】解:若函数f(x)=loga(6ax)在0,2上为减函数,则解得a(1,3)故选B【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性,其中根据已知分析出内函数为减函数,则外函数必为增函数,是解答的关键6. 设集合,则 ( )AB C D参考答案:A【知识点】集合及其运算A1集合M=x|-x,N=x|x2x=x|0x1,则MN=x|0x,【思路点拨】解一元二次不等式求得N,再根据两个集合的交集的定义求得MN7. 已知满足,则的最小值是( ) A0 B C D2参考答案:B8. 已知全集,集合2,则A. B. C. D. 参考答案:D,,所以,所以,选D.9. 函数y=的图象大致是()sABCD参考答案:A【考点】函数的图象【分析】根据函数值得正负和函数值得变化趋势即可判断【解答】解:当x0时,y0,当x0时,y0且当x+时,y0,故选:A【点评】本题主要考查了函数图象的识别,关键是掌握函数值的特点,属于基础题10. 已知为的导函数,则的图像是( )参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图放置的正方形,,、分别在轴、轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值为_参考答案:212. 在中,“”是“”的 条件参考答案:充分不必要13. 若变量满足约束条件则的最大值等于_参考答案:10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域,在取得最大值10故答案为:1014. 已知平面向量,满足:,则的夹角为 参考答案:因为,所以,所以的夹角为。15. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_。参考答案:0.75解析:依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4或3、4、5或2、4、5,故=0.75. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16. 已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数的取值集合为 .参考答案:17. 已知球O是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)A-BCD的外接球,点E在线段 BD上,且,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是_参考答案: 2,4三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数f(x)=ln(1+ax)(a0)(1)当a=时,求f(x)的极值;(2)若a(,1),f(x)存在两个极值点x1,x2,试比较f(x1)+f(x2)与f(0)的大小(3)求证en!(n2,nN)参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】(1)求出函数的定义域,求出导数,求得单调区间,即可得到极值;(2)求出导数,求得极值点,再求极值之和,构造当0t1时,g(t)=2lnt+2,运用导数,判断单调性,即可得到结论;(3)当0t1时,g(t)=2lnt+20恒成立,即lnt+10恒成立,设t=(n2,nN),即ln+n10,即有n1lnn,运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质,即可得证【解答】解:(1)f(x)=ln(1+x),定义域解得x2,f(x)=,即有(2,2)递减,(2,+)递增,故f(x)的极小值为f(2)=ln21,没有极大值(2)f(x)=ln(1+ax)(a0),x,f(x)=由于a1,则a(1a)(0,),ax24(1a)=0,解得x=,f(x1)+f(x2)=ln1+2+ln12即f(x1)+f(x2)=ln(12a)2+ =ln(12a)2+2 设t=2a1,当a1,0t1,则设f(x1)+f(x2)=g(t)=lnt2+2,当0t1时,g(t)=2lnt+2,g(t)=0g(t)在0t1上递减,g(t)g(1)=0,即f(x1)+f(x2)f(0)=0恒成立,综上述f(x1)+f(x2)f(0);(3)证明:当0t1时,g(t)=2lnt+20恒成立,即lnt+10恒成立,设t=(n2,nN),即ln+n10,即有n1lnn,即有1ln2,2ln3,3ln4,n1lnn,即有1+2+3+(n1)ln2+ln3+ln4+lnn=ln(234n)=ln(n!),则ln(n!),故en!(n2,nN)19. 从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图: (I)求频率分布直方图中的a,b的值;(II)从阅读时间在14,18)的学生中任选2人,求恰好有1人阅读时间在14,16),另1人阅读时间在16,18)的概率.参考答案:(I)课外阅读时间落在的有22人,频率为0.22,所以 2分课外阅读时间落在的有8人,频率为0.08,所以 4分(II)课外阅读时间落在的有2人,设为;课外阅读时间落在的有2人,为, 6分则从课外阅读时间落在的学生中任选2人包含共6种, 8分其中恰好有1人阅读时间在,另1人阅读时间在的有共4种,10分所以所求概率 12分20. 某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下:组号第一组第二组第三组第四组第五组分组(1)求图中的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率?参考答案:(1)(2)(3)试题解析:(1)由题意得:,即4分(2)数学成绩的平均分为:8分(3)第3、4、5组中共有学生人数分别为30、20、 10人,用分层抽样法抽6人,即在第3、4、5组中各抽取3、2、1人,设6名学生为随机抽2人,共有共15个基本事件,其中恰有1人分数不低于90分的基本事件有5个,记其中恰有1人分数不低于90分为事件,12分考点:频率分布直方图,古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.21. 已知,函数,(1)若直线与函数相切于同一点,求实数的值;(2)是否存在实数,使得成立,若存在,求出实数的取值集合,不存在说明理由参考答案:解(1)设切点,设切点, 5分(2)令,即,令,所以有两不等根,不妨令, 所以在上递减,在上递增,所以成立因为,所以所以,且令,所以在上递增,在上递减所以,又,所以代入,所以 12分略22. 已知函数f(x)=2lnxx2+ax(aR)()当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;()若函数g(x)=f(x)ax+m在,e上有两个零点,求实数m的取值范围;()若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0x1x2,求证:f()0(其中f(x)是f(x)的导函数)参考答案:【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】(I)利用导数的几何意义即可得出;(II)利用导数研究函数的单调性极值、最值,数形结合即可得出;(III)由于f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),可得方
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