陕西省西安市第六十八中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若定义在R上的函数满足，且当时，函数，则函数在区间内的零点个数为（ ）A 9. B.7 C.5 D.4参考答案：C2. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 参考答案：A试题分析：由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为R，则，解得R=2，所以它的表面积是，故选A3. 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A. B. C. D. 参考答案：C如图所示，BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是BCD的边长，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长=弦中点在内切圆内，由几何概型概率公式得，即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是故选C4. 已知平面向量，若，则等于( )ABCD参考答案：A5. 已知a是函数的零点，若0x0a，则有（）Af（x0）0 Bf（x0）0 Df（x0）的符号不确定参考答案：B略6. 函数的零点有A0 B1 C2 D3参考答案：C7. 自平面上一点O引两条射线OA，OB，点P在OA上运劝，点Q在OB上运动且保持为定值a（点P,Q不与点O重合），已知，则的取值范围为A B C D参考答案：D8. 已知复数z的实部为2,虚部为一1,则=(A)-1+2i . (B)-l-2i (C)1+2i (D)1-2i参考答案：A9. 已知圆，圆，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A.内含 B.外离 C.相交 D.相切参考答案：B两圆的圆心距，所以两圆外离10. 函数图象一定过点 ( ) A （1,1） B （1,3） C （2,0） D（4,0）参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，侧面的面积为，则它的外接球体积为 参考答案：12. 函数y=f（x）图象上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线的斜率分别是kM，kN，规定（M，N）=（|MN|为线段MN的长度）叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”函数f（x）=x3+1图象上两点M与点N的横坐标分别为1和2，（M，N）=；设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1?x2=1，则（M，N）的取值范围是参考答案：（0，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】对于，由y=x3+1，得y=3x2，则kM=3，kN=12，则|kMkN|=9，y1=2，y2=9，则|MN|=5，即可求出（M，N）=；对于，利用定义，再换元，即可得出结论【解答】解：对于，由y=x3+1，得y=3x2，则kM=3，kN=12，则|kMkN|=9，y1=2，y2=9，则|MN|=5，（M，N）=；曲线f（x）=x3+2，则f（x）=3x2，设x1+x2=t（|t|2），则（M，N）=，0（M，N）故答案为，（0，）【点评】本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13. 已知函数且)有两个零点,则的取值范围是_参考答案：略14. 已知Sn是等差数列an的前n项和，若，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】列出关于的方程组并解出，即可求得的值.【详解】设等差数列的公差为.由题意得 解得所以.故选A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和.等差数列的通项公式和前项和公式中的基本量，等差数列的相关问题往往要通过列关于的方程组来求.15. 已知函数，若方程有四个不等实根，则实数a的取值范围为_.参考答案：【分析】先判断的性质，结合方程有四个不等实根，可求实数的取值范围.【详解】因为，所以为偶函数；当时，为增函数，所以；有四个不等实根，即，且，则，解得，即实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查函数的性质及根的分布问题，根的分布结合根的情况列出限定条件是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.16. 某学校将甲、乙等6名新招聘的老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名教师，且甲、乙两名老师必须分到同一个年级，则不同的分法种数为_参考答案：240【分析】根据人数进行分组分1，1，1，3或1，1，2，2，结合甲乙一组，然后进行讨论即可【详解】6名老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名教师，则四个年级的人数为1，1，1，3或1，1，2，2，因为甲、乙两名老师必须分到同一个年级，所以若甲乙一组3个人，则从剩余4人选1人和甲乙1组，有C4，然后全排列有4A96，若人数为1，1，2，2，则甲乙一组，剩余4人分3组，从剩余4人选2人一组有C6，然后全排列有6A144，共有144+96240，故答案为：240【点睛】本题主要考查排列组合的应用，结合条件进行分组，讨论人数关系是解决本题的关键17. 若不等式(mx1)3m 2( x + 1)m10对任意恒成立，则实数x的值为 参考答案：1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了名学生作为志愿者，参加相关的活动事宜学生来源人数如下表：学院外语学院生命科学学院化工学院艺术学院人数（）若从这名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；（）现要从这名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题设其中来自外语学院的人数为，令，求随机变量的分布列及数学期望.参考答案：解: ()设“两名学生来自同一学院”为事件，则 即两名学生来自同一学院的概率为4分() 的可能取值是，对应的可能的取值为，, , , 10分所以的分布列为 11分所以. 12分略19. 已知二次函数对任意实数都满足，且令。（1）若函数在上的最小值为0，求的值；（2）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围。参考答案：（1），（2）解：设，于是所以 又，则所以 （2分）（1）则 （2分）令，得（舍），当1时，1-0+当时, 令，得 当时，0在上恒成立，在上为增函数，当时, 令，得（舍） 综上所述，所求为 （2分）（2）记，则据题意有有3个不同的实根， 有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等 （）有2个不同的实根，只需满足；（）有3个不同的实根，因，令，得或，当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；当即时，不符合题意，舍；当即时，在处取得极大值，；所以；因为（）（）要同时满足，故 （4分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；若存在使得，由，即，得，当时，不符合，舍去；当时，既有 ；又由，即 ；联立式，可得；而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等综上，当时，函数有5个不同的零点 （4分）略20. 一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.（）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；（）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率参考答案：（）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率（）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为或P=.略21. （本题满分18分. 其中第1小题3分，第2小题6分，第3小题9分） 已知函数的定义域为（），的函数值中所有整数的个数记为.（1）求出的值；（2）求的表达式；（3）若对于任意的，不等式（其中，为组合数）都成立，求实数的最小值.参考答案：解：（1）因为时函数的值域为，所以 3分（2）设的值域为 因为，1当时，.因为、，则此时中的最小正整数是，最大正整数是，所以. 6分2当时，因为、，则此时中的最小正整数是，最大正整数是，所以. 9分综合1、2可得：.（3）不等式可化为 12分设，由于所以当时，当时， 15分可得当时取得最大值为，所以的最小值为 18分略22. 已知椭圆（）的上顶点与抛物线（）的焦点重合.（1）设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程；（2）设直线与抛物线和椭圆均相切，切点分别为，记的面积为，求证：.参考答案：解：（1）易知，则抛物线的方程为由及图形的对称性，不妨设，代入，得，则.将之代入椭圆方程得，得，所以椭圆的方程为.（2）设切点，即，求导得，则切线的斜率为，方程，即，将之与椭圆联立得，令判别式化简整理得，此时设直线与轴交于点，则由基本不等式得，则，仅当时取等号，但此时，故等号无法取得，于是.