北京上庄中学高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的最小值是（ ）A B C. D2参考答案：A ，当且仅当时取等号，故选A.2. 若（x21）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（）A1B1C1或1D1或2参考答案：A考点：复数的基本概念.专题：计算题分析：（x21）+（x2+3x+2）i是纯虚数，实部为0，虚部不为0，求解不等式组即可确定x的值解答：解：（x21）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则解得：x=1故选A点评：本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题3. 若数列满足， ，则其通项=（ ）A B C D参考答案：D略4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为( )（A）1（B）2（C）3（D）4参考答案：B5. 不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】由题意知x0，不等式等价于：2x?log2x0，解出结果【详解】根据对数的意义，可得x0，则|2xlog2x|2x|+|log2x|等价于2x?log2x0，又由x0，可得原不等式等价于log2x0，解可得x1，不等式的解集为（1，+），故选：C【点睛】本题考查了绝对值三角不等式公式等号成立的条件，属于基础题.6. 在ABC中，若AB=，BC=3，C=120，则AC=（）A1B2C3D4参考答案：A【考点】余弦定理的应用【分析】直接利用余弦定理求解即可【解答】解：在ABC中，若AB=，BC=3，C=120，AB2=BC2+AC22AC?BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=4（舍去）故选：A7. 若数列的通项公式是，则 ()A15 B12 C12 D15参考答案：A8. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A B C D 参考答案：C略9. 设表示不大于的最大正数，则对任意实数，有（ ）A.=B.C. D.+参考答案：D10. 直线xsin 30+ycos 150+1=0的斜率是（）ABCD参考答案：A【考点】I3：直线的斜率【分析】直线xsin 30+ycos 150+1=0的斜率k=，即可得出【解答】解：直线xsin 30+ycos 150+1=0的斜率k=故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则N= 参考答案：（-1，0）略12. 经过点A(5,2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程为_参考答案：2x5y0或x2y1013. 下面给出了关于复数的四种类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量的性质，类比得到复数z的性质；方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比错误的是 参考答案：14. 已知三点在同一条直线上，为直线外一点，若0， R，则.参考答案：015. 点M（3，1）是圆x2+y24x+y2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为参考答案：x+2y1=0【考点】直线与圆的位置关系【分析】由M为已知圆内一点，可知过M最长的弦为过M点的直径，故过点M最长的弦所在的直线方程为点M和圆心确定的直线方程，所以把圆的方程化为标准，找出圆心坐标，设出所求直线的方程，把M和求出的圆心坐标代入即可确定出直线的方程【解答】解：把圆的方程x2+y24x+y2=0化为标准方程得：（x2）2+（y+）2=6.25，所以圆心坐标为（2，），又M（3，0），根据题意可知：过点M最长的弦为圆的直径，则所求直线为过圆心和M的直线，设为y=kx+b，把两点坐标代入得：解得：k=，b=1，则过点M最长的弦所在的直线方程是y=x+1，即x+2y1=0故答案为x+2y1=0【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会将圆的方程化为标准方程，会利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出所求直线为过圆心和M的直线是本题的突破点16. 函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为_ _.参考答案：17. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是 参考答案：bac【考点】指数函数的图象与性质【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小【解答】解：函数y=0.6x为减函数；故a=0.60.6b=0.61.5，函数y=x0.6在（0，+）上为增函数；故a=0.60.6c=1.50.6，故bac，故答案为：bac三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本题满分14分）已知函数。（1） 当时，求函数的单调区间；求函数的图象在点处的切线方程；（2） 若函数既有极大值，又有极小值，且当时， 恒成立，求的取值范围。参考答案：解：（1）当时，则，1分 令，解得x=1或x=3 2分函数的单调递增区间是： 函数的单调递减区间是：（1，3） 4分 ，函数的图象在点处的切线方程为。6分（2）因为函数既有极大值，又有极小值，则有两个不同的根，则有 又 8分令， 10分 ,12分,又， 13分的取值范围为。 14分 略19. 已知F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.（1）求抛物线C的方程;（2）直线与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.参考答案：（1） （2）见解析【分析】（1）由抛物线的定义知得值即可求解（2）设的方程为：，代入，消去得的二次方程，向量坐标化结合韦达定理得，则定点可求【详解】（1）由抛物线的定义知，抛物线的方程为： （2）设的方程为：，代入有，设，则，, 的方程为：，恒过点，【点睛】本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，向量运算，准确计算是关键，是中档题20. 已知函数（1）对任意实数x，f（x）m恒成立，求m的最大值；（2）若函数f（x）恰有一个零点，求a的取值范围参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出f（x）的导数，配方可得最小值，由题意可得mf（x）的最小值，即可得到m的最大值；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到a的范围【解答】解：（1）函数的导数为f（x）=3x29x+6=3（x）2，对任意实数x，f（x）m恒成立，可得mf（x）的最小值，即有m，可得m的最大值为；（2）函数的导数为f（x）=3x29x+6=3（x1）（x2），f（x）0?x2或x1；f（x）0?1x2，f（x）在（，1）和（2，+）上单增，在（1，2）上单减，函数f（x）恰有一个零点，可得a0或2a0，解得a2或a可得a的取值范围是（，2）（，+）21. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，E是PC的中点（1）证明：PA平面EDB；（2）证明：平面PAC平面PDB参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）欲证PA平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行，连接AC，交BD于O，连接EO，根据中位线定理可知EOPA，PA?平面EDB，EO?平面EDB，满足定理所需条件；（2）证明AC平面PBD，即可证明平面PAC平面PDB【解答】证明：（1）设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点E是P的中点，EOPA又EO?平面EDB，PA?平面EDB，PA平面EDB；（2）PO平面ABCD，PDAC又四边形ABCD为正方形，ACBD从而AC平面PBD，平面PAC平面PBD【点评】本题考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题22. 已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切（）求椭圆C的方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相较于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，设出两交点A，B的坐标，利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积，由以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点得到=0，代入向量坐标后结合根与系数关系得到k与m的关系，进一步由直线l过定点，并求出该定点的坐标【解答】（）解：由题意，解得椭圆C的方程为；（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），知椭圆C的右顶点为M（2，0），由，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m23）=0，且=3+4k2m2，而AMBM，即，（x12，y1）?（x22，y2）=0，得，（1+k2）?（mk2）?+m2+4=0，整理得7m2+16mk+4k2=0，即（m+2k）（7m+2k）=0，当m=2k时，l：y=k（x2）过定点（2，0）为右顶点，与已知矛盾；当m=k时，l：y=k（x）过定点（，0），此时=3+4k2m20；综