湖南省永州市马子江中学2022年高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合A=2，0，2，4，B=x|x22x30，则AB=（）A0B2C0，2D0，2，4参考答案：C【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中的不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：1x3，即B=（1，3），A=2，0，2，4，AB=0，2故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2. 设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(1)p，则P(10)()Ap B1p C12p Dp参考答案：D略3. 若实数x，y满足条件 则z=3x4y的最大值是（）A13B3C1D1参考答案：C【考点】简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，再将目标函数z=3x4y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值1【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（1，3），C（1，1），B（3，3）设z=F（x，y）=3x4y，将直线l：z=3x4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，z最大值=F（1，1）=1，故选：C4. 已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A（，）B，）C（， D（1，参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f2（x）+af（x）0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x）+af（x）0恰有两个整数解的实数a的取值范围【解答】解：f（x）=，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，当a0时，f2（x）+af（x）0?f（x）a或f（x）0，此时不等式f2（x）+af（x）0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）0?f（x）0，此时不等式f2（x）+af（x）0有无数个整数解，不符合题意；当a0时，f2（x）+af（x）0?f（x）0或f（x）a，要使不等式f2（x）+af（x）0恰有两个整数解，必须满足f（3）af（2），得a，故选：C5. 在ABC中，向量 在上的投影的数量为，则BC =( )A. 5B. C. D. 参考答案：C【分析】由向量 在上的投影的数量为可得，由可得，于是可得，然后再根据余弦定理可求得的长度【详解】向量 在上的投影的数量为，由得，为的内角，在中，由余弦定理得，故选C6. 某公司一年需分x批次购买某种货物，其总运费为万元，一年的总存储费用为x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则批次x等于( )A10B11C40D41参考答案：B【考点】函数模型的选择与应用 【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】利用条件，求出函数的解析式，通过基本不等式求解x的值【解答】解：总运费与总存储费用之和，于是，当，即x=11时取等号，故选：B【点评】本题考查函数的解析式的求法，以及基本不等式的应用，考查计算能力7. 函数的导函数为，对任意的都有成立，则 ( )A B C D与的大小不确定参考答案：B8. 在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中a0且a1，则下列所给图象中可能正确的是( )ABCD参考答案：D考点：指数函数的图像与性质；正弦函数的图象 专题：压轴题；数形结合分析：本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定解答：解：正弦函数的周期公式T=，y=sinax的最小正周期T=；对于A：T2，故a1，因为y=ax的图象是减函数，故错；对于B：T2，故a1，而函数y=ax是增函数，故错；对于C： T=2，故a=1，y=ax=1，故错；对于D：T2，故a1，y=ax是减函数，故对；故选D点评：本题主要考查了指数函数的图象，以及对三角函数的图象，属于基础题9. 在直角三角形ABC中，AB4，AC2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是 A1 B1 C. D参考答案：D10. 过双曲线=1（a0，b0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（）ABC2D参考答案：C【考点】双曲线的简单性质【分析】先由，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率【解答】解：如图因为，所以A为线段FB的中点，2=4，又1=3，2+3=90，所以1=2+4=22=3故2+3=90=32?2=30?1=60?=4?e=2故选：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知且，则的值为_参考答案：试题分析：因为，所以，所以考点：函数的求值12. 已知椭圆的左焦点为，右焦点为若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 参考答案：13. 设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；参考答案：(p+1)2解：设=n，则(k)2n2=，T(2kp+2n)(2kp2n)=p2，Tk=(p+1)214. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是 参考答案：115. 已知，则的值为_.参考答案：略16. 设x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是参考答案：【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入求得t的最小值，则z=2x+y的最小值可求【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+y，化为y=x+t，由图可知，当直线y=x+t过A（0，2）时，直线在y轴上的截距最小，t有最小值为2z=2x+y的最小值是故答案为：17. 设样本数据x1，x2，x2017的方差是4，若yi=2xi1（i=1，2，2017），则y1，y2，y2017的方差为 参考答案：16【考点】BC：极差、方差与标准差【分析】根据题意，设数据x1，x2，x2017的平均数为，由方差公式可得= （x1）2+（x2）2+（x3）2+（x2017）2=4，进而对于数据yi=2xi1，可以求出其平均数，进而由方差公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设样本数据x1，x2，x2017的平均数为，又由其方差为4，则有= （x1）2+（x2）2+（x3）2+（x2017）2=4，对于数据yi=2xi1（i=1，2，2017），其平均数=（y1+y2+y2017）=（2x11）+（2x21）+（2x20171）=21，其方差= （y1）2+（y2）2+（y3）2+（y2017）2= （x1）2+（x2）2+（x3）2+（x2017）2=16，故答案为：16【点评】本题考查数据的方差计算，关键是掌握方差的计算公式三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数，.如果函数没有极值点，且存在零点。（1）求的值；（2）判断方程根的个数，并说明理由；（3）设点是函数图象上的两点，平行于AB的切线以为切点，求证：。参考答案：解：（1）由题意，无极值，存在零点的即 或 所以（2）方程可变形为。在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如右图，观察图象，有两个交点，所以有两个不相等的实数根。法（2）由 下证（*），设，则。从而（*）。令，则，所以在为增函数，又，所以，当时，即，从而得到证明。对于同理可证。所以略19. （2017?衡阳一模）已知函数f（x）=|x1|+a|x+2|（）当a=1时，求不等式f（x）5的解集；（）当a1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x解集，取并集即可；（）求出f（x）的解析式，画出函数图象，求出三角形顶点的坐标，表示出三角形面积，得到关于a的方程，解出即可【解答】解：（）a=1时，f（x）5化为：|x1|+|x+2|5，当x2时，式化为2x60，解得：x3；当2x1时，式化为35，不成立；当x1时，式化为2x+15，解得x2综上，f（x）5的解集是x|x3或x2；（）当x2时，f（x）=（a+1）x2a+1；当2x1时，f（x）=（a1）x+2a+1；当x1时，f（x）=（a+1）x+2a1，综上，f（x）=；画出函数f（x）的图象如图所示；则f（x）与x轴围成的ABC三个顶点分别为：A（2，3），B（，0），C（，0）由题设可得：S=（）?3=6，化简得2a2+3a2=0，解得a=2或a=（不合题意，舍去）；故a的值是2【点评】本题考查了绝对值不等式问题，也考查分类讨论思想与数形结合的应用问题，是综合性题目20. （本小题满分12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩