福建省厦门市凤南中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c，若，则角A= （ ）A30 B30或105 C60 D60或120参考答案：D2. 已知，则（ ）A. abcB. bcaC. cbaD. bac参考答案：A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，判断a，b，c的大小关系。【详解】由题，且b0，所以abc，故选A。【点睛】本题考查指数函数和对数函数的基本性质，此类题先根据函数性质判断取值范围再进行比较。3. 若复数z满足，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A【分析】先求出复数z和,再求出在复平面内的共轭复数对应的点的位置得解.【详解】由题得，所以，所以在复平面内的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4. 在坐标平面内,不等式组所表示的平面区域的面积为A.2 B. C. D 2参考答案：B5. 已知点P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A(1,2 B(1,2) C(2,3) D(2,3 参考答案：A如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，又，又，故选A.6. 下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值的是A. B. C. D. 参考答案：D试题分析： ，且考点：函数的奇偶性和值域.7. 已知函数,若恒成立,则整数k的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：B【分析】由题得h（x）=k即h（x）的最小值大于k，h（x）=，记g（x）=x3ln（x-1），（x2），通过g(x)找到函数h(x)的单调性和最小值即得解.【详解】f（x）恒成立，即h（x）=k即h（x）的最小值大于k而h（x）=，记g（x）=x3ln（x-1），（x2），则g（x）=0，g（x）（2，+）上单调递增，又g（4）=1ln30，g（5）=22ln20，g（x）=0存在唯一实根a，且满足a（4，5），a-3=ln（a-1），当xa时，g（x）0，h（x）0，当2xa时，g（x）0，h（x）0，h（x）min=h（a）=a-1（3，4），故正整数k的最大值是3故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数的零点，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是找到函数的单调性和a的取值范围.8. 右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A. B. C. D. 参考答案：D.根据第一个条件框易知M是在圆内的点数，N是在圆外的点数，而空白处是要填写圆周率的计算公式，由几何概型的概念知，所以.故选D.9. 设函数的最小正周期为，且 ，则 ( )A. f(x)在上单调递减B. f(x)在上单调递减C. f(x)在上单调递增D. f(x)在上单调递增参考答案：A【分析】先利用辅助角公式将函数解析式化为，然后根据题中条件求出与的值，得出函数的解析式，然后分别就与讨论，并求出的范围，结合余弦函数的单调性得出答案。【详解】由于，由于该函数的最小正周期为，得出，又根据，以及，得出因此，若，则，从而在单调递减，若，则，该区间不为余弦函数的单调区间，故都错，正确故选：A。【点睛】三角函数问题，一般都是化函数为形式，然后把作为一个整体利用正弦函数的性质来求求解掌握三角函数公式（如两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角关系，诱导公式等）是我们正确解题的基础。10. 执行如图所示的程序框图，若输出的为4，则输入的应为A.-2 B.16 C.-2或8 D. -2或16参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 复数的值等于_参考答案：112. 已知为不等式组所表示的平面区域，为圆（）及其内部所表示的平面区域，若“点”是“点”的充分条件，则区域的面积的最小值为_.参考答案：13. 中，角、所对应的边分别是、，若，则边_参考答案：解：，可得，又，由余弦定理可得：14. 过原点作曲线的切线，则切线的方程为 .参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11 【答案解析】y=ex 解析：y=ex，设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k，则k=ex0，故切线方程为yex0=ex0（xx0），又切线过原点，ex0=ex0（x0），x0=1，y0=e，k=e则切线方程为y=ex，故答案为y=ex【思路点拨】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（ x0，ex0），再求出在点切点（ x0，ex0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后利用切线过原点即可解决问题15. 已知正三棱锥A-BCD每个顶点都在球O的球面上，球心O在正三棱锥的内部球的半径为R，且若过A作球O的截面，所得圆周长的最大值是8，则该三棱锥的侧面积为_参考答案：【分析】依题意，该球的大圆的周长为8，可得R4， BC=6设底面BCD的中心为E，连接BE并延长交CD于F，求得BE，EF，在三角形OBE中应用勾股定理得到OE可得三棱锥的高AEAO+OE所以由勾股定理得到三棱锥的斜高AF 求侧面积即可【详解】依题意，该球的大圆的周长为8，所以2R8，得R4，如图，正三棱锥ABCD中，设底面三角形BCD的中心为E，则AE平面BCD，设F为CD的中点，连接BF，AF，则E是BF的三等分点，且AF是三棱锥的侧面ACD的斜高根据正三棱锥的对称性，球心O在AE上所以BC6则BE2EF，又因为三角形OBE为直角三角形，所以OE2所以三棱锥的高AEAO+OE4+26所以三棱锥的斜高AF该三棱锥的侧面积为S侧339故填：【点睛】本题考查了正三棱锥的结构特征，正三棱锥的外接球，考查空间想象能力与计算能力，是中档题16. 已知函数且=3，在各项均为正的数列中，的前n项和为，若= 。参考答案：617. 若，则 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知关于x的函数，（I）试求函数g(x)的单调区间；（II）若f(x)在区间(0,1)内有极值，试求a的取值范围；（III）a0时，若f(x)有唯一的零点x0，试求x0.（注：x为取整函数，表示不超过x的最大整数，如；以下数据供参考：）参考答案：（）由题意的定义域为 （）若，则在上恒成立，为其单调递减区间；（）若，则由得，时，时，所以为其单调递减区间；为其单调递增区间；-4分（）方法一所以的定义域也为，且 令 (*)则 (*)（1）当时, 恒成立,所以为上的单调递增函数，又，所以在区间内存在唯一一个零点，由于为上的单调递增函数，所以在区间内，从而在，所以此时在区间内有唯一极值且为极小值，适合题意（2）当时,即在区间(0,1)上恒成立,此时, 无极值.综上所述,若在区间内有极值，则a的取值范围为.-8分() ,由（）且知时, .由(*)式知，。由于，所以，又由于，所以亦即，由从而得所以，从而，又因为有唯一的零点，所以 即为, 消去a,得时令,则在区间上为单调递增函数, 为单调递减函数,且 -12分19. 如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面ABCD，ABCD 是直角梯形，ABAD， ABCD，AB=2AD=2CD=2E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若PB=2，求三棱锥的体积参考答案：解：（1）（2）20. 在ABC中，BC=1，B=,ABC的面积S=，则sinC=（ ）A、 B、 C、 D、参考答案：D21. 已知中，角的对边分别为，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.参考答案：(1)，由正弦定理可得又（2）由余弦定理可得又的面积为22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60（）求证：BD平面PAC；（）若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；（）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长参考答案：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以ACBD 又因为PA平面ABCD， 所以PABD， 所以BD平面PAC 4分（）设ACBDO 因为BAD60，PAAB2， 所以BO1，AOCO如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则 P（0，2），A（0，0），B（1,0,0），C（0，0） 所以（1，2），（0,2，0） 设PB与AC所成角为，则 cos 8分（）由（）知（1，0）设P（0，t） （t 0），则（1，t）设平面PBC的法向量m（x，y，z）， 则m0，m0所以 令y，则x3，z， 所以m同理，可求得平面PDC的法向量n因为平面PBC平面PDC， 所以mn0，即60 解得t所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA 12分