湖南省益阳市仙溪镇中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知ABC的平面直观图ABC，是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为（）A a 2B a 2C a 2D a 2参考答案：C【考点】LB：平面图形的直观图【分析】根据斜二测画法原理作出ABC的平面图，求出三角形的高即可得出三角形的面积【解答】解：如图（1）所示的三角形ABC为直观图，取BC所在的直线为x轴，BC的中点为O，且过O与x轴成45的直线为y轴，过A点作MAOy，交x轴于点M，则在直角三角形AMO中，OA=a，AMO=45，MO=OA=a，AM=a在xOy坐标平面内，在x轴上取点B和C，使OB=OC=，又取OM=a，过点M作x轴的垂线，且在该直线上截取MA=a，连结AB，AC，则ABC为直观图所对应的平面图形显然，S ABC=BC?MA=a?a=a 2故选：C【点评】本题考查了平面图形的直观图，斜二测画法原理，属于中档题2. 若幂函数y=f（x）的图象经过点（，3），则该幂函数的解析式为（）Ay=x1By=xCy=xDy=x3参考答案：A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用幂函数的形式设出f（x），将点的坐标代入求出函数的解析式【解答】解：f（x）是幂函数设f（x）=x图象经过点（，3），3=，=1f（x）=x1故选：A【点评】本题考查利用待定系数法求知函数模型的解析式3. 设,则下列不等式中恒成立的是 ( )A B C D参考答案：C略4. 函数的图象关于 （ ）A. 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D.直线对称 参考答案：C5. 若关于x的不等式在区间1,5上有解,则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】利用分离常数法得出不等式在上成立，根据函数在上的单调性，求出的取值范围【详解】关于的不等式在区间上有解在上有解即在上成立，设函数数，恒成立在上是单调减函数且的值域为要在上有解，则 即的取值范围是故选【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题。6. 如果一组数的平均数是,方差是,则另一组数的平均数和方差分别是 ( )A. B. C. D. 参考答案：C因为一组数的平均数是,方差是,所以另一组数的平均数和方差分别是。7. 关于数列3，9，2187，以下结论正确的是（）A此数列不是等差数列，也不是等比数列B此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C此数列可能是等差数列，但不是等比数列D此数列不是等差数列，但可能是等比数列参考答案：B【考点】数列的概念及简单表示法【分析】根据等差数列、等比数列的性质验证即得结论【解答】解：一方面=729，该数列有可能是以首项和公比均为3的等比数列；另一方面=363，该数列有可能是以首项为3、公差为6的等差数列；故选：B【点评】本题考查等差、等比数列的判定，注意解题方法的积累，属于基础题8. 一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路径是（ ）A4 B5 C D 参考答案：A9. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则 这个棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 参考答案：B 10. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为（）A B C D参考答案：B由三视图可知所求几何体体积。二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知与，要使最小，则实数的值为_。参考答案： 解析：，当时即可12. 设x、yR，且1,则xy的最小值为_.参考答案：16略13. 用半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为 参考答案：半圆形纸片卷成圆锥筒后，半圆周长变为圆锥底面周长所以 ，解得 母线为原来圆的半径 根据圆锥的母线 、高 、底面圆的半径 构成一个直角三角形的性质所以 14. 设集合Ax|x21，Bx|x22x30，则AB等于 。参考答案：略15. 在等比数列中，已知，则该数列的前15项的和 。参考答案：1116. 已知函数f（x）=，则f（）的值为参考答案：1+【考点】函数的值【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】分段函数代入，从而求f（）=f（）+1=cos+1【解答】解：f（）=f（+1）+1=f（）+1=cos+1=1+；故答案为：1+【点评】本题考查了分段函数的应用17. 电流强度（安）随时间（秒）变化的函数（，）的图象如图所示，则当秒时，电流强度是 安 参考答案：5略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知向量, , .（）求的值; （）若, , 且, 求.参考答案：（）, , . , , 即 , 5分 . （）, , ， .19. 在数列an 中，点 在直线上()求数列an的通项公式；()记 ,求数列bn的前n项和Tn参考答案：（） （）【分析】（）根据点在直线上，代入后根据等差数列定义即可求得通项公式（）表示出的通项公式，根据裂项法即可求得【详解】（）由已知得 ，即 数列 是以 为首项，以为公差的等差数列 （）由（）得 【点睛】本题考查了等差数列定义求通项公式，裂项法求和的应用，属于基础题20. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足()求角C的大小；()求的最大值，并求取得最大值时角A的大小参考答案：解：()由正弦定理得因为0A，0C0. 从而sinC=cosC. 又cosC0，所以tanC=1，则5分()由()知B=A. 于是=因为0A，所以，所以当，即A=时，取最大值2. 综上所述，的最大值为2，此时A=9分21. 已知等比数列an是递增数列，且满足：，.（1）求数列an的通项公式：（2）设，求数列bn的前n项和Sn.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式；（2）由（1）得，再利用等差数列的求和公式进行解答即可【详解】（1）由题意，得，又，所以，或 ，由是递增的等比数列，得 ，所以，且，即；（2）由（1）得，得，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题22. （满分12分）在中，分别为角的对边，且满足.（1）求角的值； （2）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.参考答案：（1）在中，由及余弦定理得2分 而，则； 4分（2）由及正弦定理得， 6分 同理 8分 10分 ，即时，。 12